懷爾斯對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是證明了歷時(shí)350多年的、著名的費(fèi)爾馬大定理。

在此之前，他于1977年和科茨（Coates）共同證明了橢圓曲線中最重要的猜想──伯奇─斯溫耐頓─代爾（Birch-Swinnerton-Dyer）猜想的特殊情形（即對(duì)于具有復(fù)數(shù)乘法的橢圓曲線）；1984年和馬祖爾（Mazur）一起證明了巖澤理論中的主猜想。在這些工作的基礎(chǔ)上，他于1994年通過證明半穩(wěn)定的橢圓曲線的谷山─志村─韋伊猜想，從而完全證明了費(fèi)馬最后定理。

1986年，格哈德·弗賴提出，費(fèi)馬大定理的真實(shí)性將使谷山-志村猜想一經(jīng)證明之后的直接結(jié)果并演算出一個(gè)橢圓方程，于是，懷爾斯決定重新研究原來擱置的問題，并可以運(yùn)用一些新的方法。經(jīng)過7年的努力，懷爾斯完成了谷山-志村猜想的證明。作為一個(gè)結(jié)果，他也證明了費(fèi)馬大定理。

世紀(jì)講座

1993年6月底，有一個(gè)重要的會(huì)議要在劍橋大學(xué)的牛頓研究所舉行。懷爾斯決定利用這個(gè)機(jī)會(huì)向一群杰出的聽眾宣布他的工作。他選擇在牛頓研究所宣布的另外一個(gè)主要原因是劍橋是他的家鄉(xiāng)，他曾經(jīng)是那里的一名研究生。1993年6月23日，牛頓研究所舉行了20世紀(jì)最重要的一次數(shù)學(xué)講座。兩百名數(shù)學(xué)家聆聽了這一演講，但他們之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希臘字母和代數(shù)式所表達(dá)的意思。其余的人來這里是為了見證他們所期待的一個(gè)真正具有意義的時(shí)刻。演講者是安德魯·懷爾斯。懷爾斯回憶起演講最后時(shí)刻的情景：“雖然新聞界已經(jīng)刮起有關(guān)演講的風(fēng)聲，很幸運(yùn)他們沒有來聽演講。但是聽眾中有人拍攝了演講結(jié)束時(shí)的鏡頭，研究所所長(zhǎng)肯定事先就準(zhǔn)備了一瓶香檳酒。當(dāng)我宣讀證明時(shí)，會(huì)場(chǎng)上保持著特別莊重的寂靜，當(dāng)我寫完費(fèi)馬大定理的證明時(shí)，我說：‘我想我就在這里結(jié)束’，會(huì)場(chǎng)上爆發(fā)出一陣持久的鼓掌聲?！?/p>

絕境逢生

安德魯·懷爾斯向《數(shù)學(xué)發(fā)明》雜志遞交的論文，論文有200頁(yè)，正在進(jìn)行嚴(yán)格的審稿。

1993年8月23日，審查人在論文的第三章發(fā)現(xiàn)了證明中的一個(gè)小缺陷。數(shù)學(xué)的絕對(duì)主義要求懷爾斯無可懷疑地證明他的方法中的每一步都行得通。懷爾斯以為這又是一個(gè)小問題，補(bǔ)救的辦法可能就在近旁，可是6個(gè)多月過去了，錯(cuò)誤仍未改正，懷爾斯面臨絕境，他準(zhǔn)備承認(rèn)失敗。他向同事彼得·薩克說明自己的情況，薩克向他暗示困難的一部分在于他缺少一個(gè)能夠和他討論問題并且可信賴的人。經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的考慮后，懷爾斯決定邀請(qǐng)劍橋大學(xué)的講師理查德·泰勒到普林斯頓和他一起工作。

泰勒1994年1月份到普林斯頓，可是到了9月，依然沒有結(jié)果，他們準(zhǔn)備放棄了。泰勒鼓勵(lì)他們?cè)賵?jiān)持一個(gè)月。懷爾斯決定在9月底作最后一次檢查。9月19日，一個(gè)星期一的早晨，懷爾斯發(fā)現(xiàn)了問題的答案，他敘述了這一時(shí)刻：“突然間，不可思議地，我有了一個(gè)難以置信的發(fā)現(xiàn)。這是我的事業(yè)中最重要的時(shí)刻，我不會(huì)再有這樣的經(jīng)歷……它的美是如此地難以形容；它又是如此簡(jiǎn)單和優(yōu)美。20多分鐘的時(shí)間我呆望它不敢相信。然后白天我到系里轉(zhuǎn)了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在——它還在那里?！?/p>

這兩篇論文總共有130頁(yè)，是歷史上核查得最徹底的數(shù)學(xué)稿件，它們發(fā)表在1995年5月的《數(shù)學(xué)年刊》上。懷爾斯再一次出現(xiàn)在《紐約時(shí)報(bào)》的頭版上，標(biāo)題是《數(shù)學(xué)家稱經(jīng)典之謎已解決》。約翰·科茨說：“用數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)來說，這個(gè)最終的證明可與分裂原子或發(fā)現(xiàn)DNA的結(jié)構(gòu)相比，對(duì)費(fèi)馬大定理的證明是人類智力活動(dòng)的一曲凱歌，同時(shí)，不能忽視的事實(shí)是它一下子就使數(shù)學(xué)發(fā)生了革命性的變化。對(duì)我說來，安德魯成果的美和魅力在于它是走向代數(shù)數(shù)論的巨大的一步?！?/p>

懷爾斯說：“……再?zèng)]有別的問題能像費(fèi)馬大定理一樣對(duì)我有同樣的意義。我擁有如此少有的特權(quán)，在我的成年時(shí)期實(shí)現(xiàn)我童年的夢(mèng)想……那段特殊漫長(zhǎng)的探索已經(jīng)結(jié)束了，我的心已歸于平靜?！?/p>