勾股定理，是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結合的紐帶之一。

在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

定義

在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是和，斜邊長度是，那么可以用數(shù)學語言表達：

勾股定理是余弦定理中的一個特例。

推導

趙爽弦圖

《周髀算經》中，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，并之為玄實。開方除之，即玄。案玄圖有可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實。加差實亦成玄實。以差實減玄實，半其余。以差為從法，開方除之，復得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之實，即成玄實?；蚓赜趦?，或方于外。形詭而量均，體殊而數(shù)齊。勾實之矩以股玄差為廣，股玄并為袤。而股實方其里。減矩勾之實于玄實，開其余即股。倍股在兩邊為從法，開矩勾之角即股玄差。加股為玄。以差除勾實得股玄并。以并除勾實亦得股玄差。令并自乘與勾實為實。倍并為法。所得亦玄。勾實減并自乘，如法為股。股實之矩以勾玄差為廣，勾玄并為袤。而勾實方其里，減矩股之實于玄實，開其余即勾。倍勾在兩邊為從法，開矩股之角，即勾玄差。加勾為玄。以差除股實得勾玄并。以并除股實亦得勾玄差。令并自乘與股實為實。倍并為法。所得亦玄。股實減并自乘如法為勾，兩差相乘倍而開之，所得以股玄差增之為勾。以勾玄差增之為股。兩差增之為弦。倍玄實列勾股差實，見并實者，以圖考之，倍玄實滿外大方而多黃實。黃實之多，即勾股差實。以差實減之，開其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄實乃減之，開其余，得中黃方。黃方之面，即勾股差。以差減并而半之為勾。加差于并而半之為股。其倍玄為廣袤合。令勾股見者自乘為其實。四實以減之，開其余，所得為差。以差減合半其余為廣。減廣于玄即所求也?！?/p>

用現(xiàn)代的數(shù)學語言描述就是黃實的面積等于大正方形的面積減去四個朱實的面積。

2002年第24屆國際數(shù)學家大會（ICM）的會標即為該圖。

加菲爾德證法

加菲爾德在證出此結論5年后，成為美國第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，，

∵

加菲爾德證法變式

該證明為加菲爾德證法的變式。

如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對角線切開，則回到了加菲爾德證法。相反，若將上圖中兩個梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即：

青朱出入圖

青朱出入圖，是東漢末年數(shù)學家劉徽根據(jù)“割補術”運用數(shù)形關系證明勾股定理的幾何證明法，特色鮮明、通俗易懂。

劉徽描述此圖，“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也?！逼浯笠鉃?，一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再以盈補虛，分割線內不動，線外則“各從其類”，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。

歐幾里得證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點畫一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。

在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）

三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。

任意一個矩形的面積等于其二邊長的乘積（據(jù)輔助定理3）。

證明的思路為：從A點畫一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關系，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

設△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC2。

把這兩個結果相加，AB2 AC2=BD×BK KL×KC

由于BD=KL，BD×BK KL×KC=BD(BK KC)=BD×BC

由于CBDE是個正方形，因此AB2 AC2=BC2，即a2 b2=c2。

此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的。

由于這個定理的證明依賴于平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。

推廣

勾股數(shù)組

勾股數(shù)組是滿足勾股定理的正整數(shù)組，其中的稱為勾股數(shù)。例如就是一組勾股數(shù)組。

任意一組勾股數(shù)可以表示為如下形式：，，，其中均為正整數(shù)，且。

定理用途

已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長度，證明該三角形為直角三角形或用來證明該三角形內兩邊垂直。利用勾股定理求線段長度這是勾股定理的最基本運用。

簡史

中國

公元前十一世紀，數(shù)學家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。編寫于公元前一世紀以前的《周髀算經》中記錄著商高與周公的一段對話。商高說：“……故折矩，勾廣三，股修四，經隅五?！币鉃椋寒斨苯侨切蔚膬蓷l直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據(jù)該典故稱勾股定理為商高定理。

公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，記錄于《九章算術》中“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。

在中國清朝末年，數(shù)學家華蘅芳提出了二十多種對于勾股定理證法。

外國

遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。美國哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數(shù)。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫后的土地時，也應用過勾股定理。

公元前六世紀，希臘數(shù)學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。

公元前4世紀，希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個證明。

1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的一個證法。

1940年《畢達哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。

意義

1．勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端。

2．勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理。

3．勾股定理導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學危機，大大加深了人們對數(shù)的理解。

4．勾股定理是歷史上第一個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理。

5．勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，并有巨大的實用價值。這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為“幾何學的基石”，而且在高等數(shù)學和其他科學領域也有著廣泛的應用。1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個數(shù)學公式”郵票，這十個數(shù)學公式由著名數(shù)學家選出的，勾股定理是其中之首。