勾股定理，是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。

在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

定義

在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方。如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長度分別是和，斜邊長度是，那么可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)：

勾股定理是余弦定理中的一個特例。

推導(dǎo)

趙爽弦圖

《周髀算經(jīng)》中，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，并之為玄實。開方除之，即玄。案玄圖有可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實。加差實亦成玄實。以差實減玄實，半其余。以差為從法，開方除之，復(fù)得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之實，即成玄實?；蚓赜趦?nèi)，或方于外。形詭而量均，體殊而數(shù)齊。勾實之矩以股玄差為廣，股玄并為袤。而股實方其里。減矩勾之實于玄實，開其余即股。倍股在兩邊為從法，開矩勾之角即股玄差。加股為玄。以差除勾實得股玄并。以并除勾實亦得股玄差。令并自乘與勾實為實。倍并為法。所得亦玄。勾實減并自乘，如法為股。股實之矩以勾玄差為廣，勾玄并為袤。而勾實方其里，減矩股之實于玄實，開其余即勾。倍勾在兩邊為從法，開矩股之角，即勾玄差。加勾為玄。以差除股實得勾玄并。以并除股實亦得勾玄差。令并自乘與股實為實。倍并為法。所得亦玄。股實減并自乘如法為勾，兩差相乘倍而開之，所得以股玄差增之為勾。以勾玄差增之為股。兩差增之為弦。倍玄實列勾股差實，見并實者，以圖考之，倍玄實滿外大方而多黃實。黃實之多，即勾股差實。以差實減之，開其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄實乃減之，開其余，得中黃方。黃方之面，即勾股差。以差減并而半之為勾。加差于并而半之為股。其倍玄為廣袤合。令勾股見者自乘為其實。四實以減之，開其余，所得為差。以差減合半其余為廣。減廣于玄即所求也?！?/p>

用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言描述就是黃實的面積等于大正方形的面積減去四個朱實的面積。

2002年第24屆國際數(shù)學(xué)家大會（ICM）的會標(biāo)即為該圖。

加菲爾德證法

加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，，

∵

加菲爾德證法變式

該證明為加菲爾德證法的變式。

如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對角線切開，則回到了加菲爾德證法。相反，若將上圖中兩個梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即：

青朱出入圖

青朱出入圖，是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補術(shù)”運用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理的幾何證明法，特色鮮明、通俗易懂。

劉徽描述此圖，“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也?！逼浯笠鉃椋粋€任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再以盈補虛，分割線內(nèi)不動，線外則“各從其類”，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。

歐幾里得證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點畫一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。

在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）

三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。

任意一個矩形的面積等于其二邊長的乘積（據(jù)輔助定理3）。

證明的思路為：從A點畫一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個同等面積的長方形。

設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC2。

把這兩個結(jié)果相加，AB2 AC2=BD×BK KL×KC

由于BD=KL，BD×BK KL×KC=BD(BK KC)=BD×BC

由于CBDE是個正方形，因此AB2 AC2=BC2，即a2 b2=c2。

此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的。

由于這個定理的證明依賴于平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質(zhì)疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。

推廣

勾股數(shù)組

勾股數(shù)組是滿足勾股定理的正整數(shù)組，其中的稱為勾股數(shù)。例如就是一組勾股數(shù)組。

任意一組勾股數(shù)可以表示為如下形式：，，，其中均為正整數(shù)，且。

定理用途

已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長度，證明該三角形為直角三角形或用來證明該三角形內(nèi)兩邊垂直。利用勾股定理求線段長度這是勾股定理的最基本運用。

簡史

中國

公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。編寫于公元前一世紀(jì)以前的《周髀算經(jīng)》中記錄著商高與周公的一段對話。商高說：“……故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！币鉃椋寒?dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據(jù)該典故稱勾股定理為商高定理。

公元三世紀(jì)，三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，記錄于《九章算術(shù)》中“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。

在中國清朝末年，數(shù)學(xué)家華蘅芳提出了二十多種對于勾股定理證法。

外國

遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。美國哥倫比亞大學(xué)圖書館內(nèi)收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數(shù)。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫后的土地時，也應(yīng)用過勾股定理。

公元前六世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習(xí)慣地稱這個定理為畢達(dá)哥拉斯定理。

公元前4世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個證明。

1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的一個證法。

1940年《畢達(dá)哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。

意義

1．勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端。

2．勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理。

3．勾股定理導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學(xué)危機，大大加深了人們對數(shù)的理解。

4．勾股定理是歷史上第一個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理。

5．勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的實用價值。這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個數(shù)學(xué)公式”郵票，這十個數(shù)學(xué)公式由著名數(shù)學(xué)家選出的，勾股定理是其中之首。