麥克斯韋方程組，是英國物理學(xué)家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在19世紀(jì)建立的一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程。它由四個方程組成：描述電荷如何產(chǎn)生電場的高斯定律、論述磁單極子不存在的高斯磁定律、描述電流和時變電場怎樣產(chǎn)生磁場的麥克斯韋-安培定律、描述時變磁場如何產(chǎn)生電場的法拉第感應(yīng)定律。

從麥克斯韋方程組，可以推論出電磁波在真空中以光速傳播，并進(jìn)而做出光是電磁波的猜想。麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程是經(jīng)典電磁學(xué)的基礎(chǔ)方程。從這些基礎(chǔ)方程的相關(guān)理論，發(fā)展出現(xiàn)代的電力科技與電子科技。

麥克斯韋在1865年提出的最初形式的方程組由20個等式和20個變量組成。他在1873年嘗試用四元數(shù)來表達(dá)，但未成功。現(xiàn)在所使用的數(shù)學(xué)形式是奧利弗·赫維賽德和約西亞·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表達(dá)的。

歷史背景

麥克斯韋誕生前的半個多世紀(jì)，人類對電磁現(xiàn)象的認(rèn)識取得了很大的進(jìn)展。1785年，法國物理學(xué)家C.A.庫侖（Charles A. Coulomb）在扭秤實驗結(jié)果的基礎(chǔ)上，建立了說明兩個點電荷之間相互作用力的庫侖定律。1820年，H.C.奧斯特（Hans Christian Oersted）發(fā)現(xiàn)電流能使磁針偏轉(zhuǎn)，從而把電與磁聯(lián)系起來。其后，A.M.安培（Andre Marie Ampère）研究了電流之間的相互作用力，提出了許多重要概念和安培環(huán)路定律。M.法拉第（Michael Faraday）在很多方面有杰出貢獻(xiàn)，特別是1831年發(fā)表的電磁感應(yīng)定律，是電機(jī)、變壓器等設(shè)備的重要理論基礎(chǔ)。

1845年，關(guān)于電磁現(xiàn)象的三個最基本的實驗定律：庫侖定律（1785年）、畢奧-薩伐爾定律（1820年）、法拉第電磁感應(yīng)定律（1831~1845年）已被總結(jié)出來，法拉第的“電力線”和“磁力線”（現(xiàn)在也叫做“電場線”與“磁感線”）概念已發(fā)展成“電磁場概念”。1855年至1865年，麥克斯韋在全面地審視了庫侖定律、畢奧—薩伐爾定律和法拉第定律的基礎(chǔ)上，把數(shù)學(xué)分析方法帶進(jìn)了電磁學(xué)的研究領(lǐng)域，由此導(dǎo)致麥克斯韋電磁理論的誕生。

在麥克斯韋之前，關(guān)于電磁現(xiàn)象的學(xué)說都以超距作用觀念為基礎(chǔ)，認(rèn)為帶電體、磁化體或載流導(dǎo)體之間的相互作用，都是可以超越中間媒質(zhì)而直接進(jìn)行并立即完成的，即認(rèn)為電磁擾動的傳播速度無限大。在那個時期，持不同意見的只有法拉第。他認(rèn)為上述這些相互作用與中間媒質(zhì)有關(guān)，是通過中間媒質(zhì)的傳遞而進(jìn)行的，即主張間遞學(xué)說。

麥克斯韋繼承了法拉第的觀點，參照流體力學(xué)的模型，應(yīng)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)形式總結(jié)了前人的工作，提出了位移電流的假說，推廣了電流的涵義，將電磁場基本定律歸結(jié)為四個微分方程，這就是著名的麥克斯韋方程組。他對這組方程進(jìn)行了分析，預(yù)見到電磁波的存在，并斷定，電磁波的傳播速度為有限值（與光速接近），且光也是某種頻率的電磁波。上述這些，他都寫入題為《論電與磁》的論文中。

1887年，海因里希·魯?shù)婪颉ず掌潱℉einrich R. Hertz）用實驗方法產(chǎn)生和檢測到了電磁波，證實了麥克斯韋的預(yù)見。1905～1915年間，A.愛因斯坦（Albert Einstein）的相對論進(jìn)一步論證了時間、空間、質(zhì)量、能量和運動之間的關(guān)系，說明電磁場就是物質(zhì)的一種形式，間遞學(xué)說得到了公認(rèn)。

方程組成

麥克斯韋方程組乃是由四個方程共同組成的：

高斯定律：該定律描述電場與空間中電荷分布的關(guān)系。電場線開始于正電荷，終止于負(fù)電荷（或無窮遠(yuǎn)）。計算穿過某給定閉曲面的電場線數(shù)量，即其電通量，可以得知包含在這閉曲面內(nèi)的總電荷。更詳細(xì)地說，這定律描述穿過任意閉曲面的電通量與這閉曲面內(nèi)的電荷之間的關(guān)系。

高斯磁定律：該定律表明，磁單極子實際上并不存在。所以，沒有孤立磁荷，磁場線沒有初始點，也沒有終止點。磁場線會形成循環(huán)或延伸至無窮遠(yuǎn)。換句話說，進(jìn)入任何區(qū)域的磁場線，必需從那區(qū)域離開。以術(shù)語來說，通過任意閉曲面的磁通量等于零，或者，磁場是一個無源場。

法拉第感應(yīng)定律：該定律描述時變磁場怎樣感應(yīng)出電場。電磁感應(yīng)是制造許多發(fā)電機(jī)的理論基礎(chǔ)。例如，一塊旋轉(zhuǎn)的條形磁鐵會產(chǎn)生時變磁場，這又接下來會生成電場，使得鄰近的閉合電路因而感應(yīng)出電流。

麥克斯韋-安培定律：該定律闡明，磁場可以用兩種方法生成：一種是靠傳導(dǎo)電流（原本的安培定律），另一種是靠時變電場，或稱位移電流（麥克斯韋修正項）。

在電磁學(xué)里，麥克斯韋修正項意味著時變電場可以生成磁場，而由于法拉第感應(yīng)定律，時變磁場又可以生成電場。這樣，兩個方程在理論上允許自我維持的電磁波傳播于空間。

麥克斯韋電磁場理論的要點可以歸結(jié)為：

①幾分立的帶電體或電流，它們之間的一切電的及磁的作用都是通過它們之間的中間區(qū)域傳遞的，不論中間區(qū)域是真空還是實體物質(zhì)。

②電能或磁能不僅存在于帶電體、磁化體或帶電流物體中，其大部分分布在周圍的電磁場中。

③導(dǎo)體構(gòu)成的電路若有中斷處，電路中的傳導(dǎo)電流將由電介質(zhì)中的位移電流補(bǔ)償貫通，即全電流連續(xù)。且位移電流與其所產(chǎn)生的磁場的關(guān)系與傳導(dǎo)電流的相同。

④磁通量既無始點又無終點，即不存在磁荷。

⑤光波也是電磁波。

麥克斯韋方程組有兩種表達(dá)方式。

1.積分形式的麥克斯韋方程組是描述電磁場在某一體積或某一面積內(nèi)的數(shù)學(xué)模型。表達(dá)式為：

式①是由安培環(huán)路定律推廣而得的全電流定律，其含義是：磁場強(qiáng)度H沿任意閉合曲線的線積分，等于穿過此曲線限定面積的全電流。等號右邊第一項是傳導(dǎo)電流．第二項是位移電流。式②是法拉第電磁感應(yīng)定律的表達(dá)式，它說明電場強(qiáng)度E沿任意閉合曲線的線積分等于穿過由該曲線所限定面積的磁通對時間的變化率的負(fù)值。這里提到的閉合曲線，并不一定要由導(dǎo)體構(gòu)成，它可以是介質(zhì)回路，甚至只是任意一個閉合輪廓。式③表示磁通連續(xù)性原理，說明對于任意一個閉合曲面，有多少磁通進(jìn)入曲面就有同樣數(shù)量的磁通離開。即B線是既無始端又無終端的；同時也說明并不存在與電荷相對應(yīng)的磁荷。式④是高斯定律的表達(dá)式，說明在時變的條件下，從任意一個閉合曲面出來的D的凈通量，應(yīng)等于該閉曲面所包圍的體積內(nèi)全部自由電荷之總和。

2.微分形式的麥克斯韋方程組。微分形式的麥克斯韋方程是對場中每一點而言的。應(yīng)用del算子，可以把它們寫成

式⑤是全電流定律的微分形式，它說明磁場強(qiáng)度H的旋度等于該點的全電流密度（傳導(dǎo)電流密度J與位移電流密度之和），即磁場的漩渦源是全電流密度，位移電流與傳導(dǎo)電流一樣都能產(chǎn)生磁場。式⑥是法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式，說明電場強(qiáng)度E的旋度等于該點磁通密度B的時間變化率的負(fù)值，即電場的渦旋源是磁通密度的時間變化率。式⑦是磁通連續(xù)性原理的微分形式，說明磁通密度B的散度恒等于零，即B線是無始無終的。也就是說不存在與電荷對應(yīng)的磁荷。式⑧是靜電場高斯定律的推廣，即在時變條件下，電位移D的散度仍等于該點的自由電荷體密度。

除了上述四個方程外，還需要有媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系式

才能最終解決場量的求解問題。式中ε是媒質(zhì)的介電常數(shù)，μ是媒質(zhì)的磁導(dǎo)率，σ是媒質(zhì)的電導(dǎo)率。

表達(dá)形式

積分形式

麥克斯韋方程組的積分形式如下：

這是1873年前后，麥克斯韋提出的表述電磁場普遍規(guī)律的四個方程。其中：

（1）描述了電場的性質(zhì)。在一般情況下，電場可以是自由電荷的電場也可以是變化磁場激發(fā)的感應(yīng)電場，而感應(yīng)電場是渦旋場，它的電位移線是閉合的，對封閉曲面的通量無貢獻(xiàn)。

（2）描述了磁場的性質(zhì)。磁場可以由傳導(dǎo)電流激發(fā)，也可以由變化電場的位移電流所激發(fā)，它們的磁場都是渦旋場，磁感應(yīng)線都是閉合線，對封閉曲面的通量無貢獻(xiàn)。

（3）描述了變化的磁場激發(fā)電場的規(guī)律。

（4）描述了傳導(dǎo)電流和變化的電場激發(fā)磁場的規(guī)律。

穩(wěn)恒場中的形式

當(dāng)

時，方程組就還原為靜電場和穩(wěn)恒磁場的方程：

無場源自由空間中的形式

當(dāng)，方程組就成為如下形式：

麥克斯韋方程組的積分形式反映了空間某區(qū)域的電磁場量（D、E、B、H）和場源（電荷q、電流I）之間的關(guān)系。

微分形式

在電磁場的實際應(yīng)用中，經(jīng)常要知道空間逐點的電磁場量和電荷、電流之間的關(guān)系。從數(shù)學(xué)形式上，就是將麥克斯韋方程組的積分形式化為微分形式。倒三角形為哈密頓算子。

注意：

(1)在不同的慣性參照系中，麥克斯韋方程組有同樣的形式。

(2)應(yīng)用麥克斯韋方程組解決實際問題，還要考慮介質(zhì)對電磁場的影響。例如在均勻各向同性介質(zhì)中，電磁場量與介質(zhì)特性量有下列關(guān)系：

在非均勻介質(zhì)中，還要考慮電磁場量在界面上的邊值關(guān)系。在利用t=0時場量的初值條件，原則上可以求出任一時刻空間任一點的電磁場，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。

下面是高斯單位制下的麥克斯韋方程組

物性方程

當(dāng)有介質(zhì)存在時，由于電場和磁場與介質(zhì)的相互影響，使電磁場量與介質(zhì)的特性有關(guān)，因此上述麥克斯韋方程組在這時還不是完備的，還需要再補(bǔ)充描述介質(zhì)（各向同性介質(zhì)）性質(zhì)的物性方程，分別為

式中，ε、μ和σ分別是介質(zhì)的絕對介電常數(shù)、絕對磁導(dǎo)率和導(dǎo)體的電導(dǎo)率。

進(jìn)一步的理論證明麥克斯韋方程組式與物性方程式一起對于決定電磁場的變化來說是一組完備的方程式。這就是說，當(dāng)電荷、電流給定時，從上述方程根據(jù)初始條件（以及必要的邊界條件）就可以完全決定電磁場的變化。當(dāng)然，如果要討論電磁場對帶電粒子的作用以及帶電粒子在電磁場中的運動，還需要洛倫茲力公式。

復(fù)數(shù)形式

對于正弦時變場，可以使用復(fù)矢量將電磁場定律表示為復(fù)數(shù)形式。

在復(fù)數(shù)形式的電磁場定律中，由于復(fù)數(shù)場量和源量都只是空間位置的函數(shù)，在求解時，不必再考慮它們與時間的依賴關(guān)系。因此，對討論正弦時變場來說面采用復(fù)數(shù)形式的電磁場定律是較為方便的。

注記

采用不同的單位制，麥克斯韋方程組的形式會稍微有所改變，大致形式仍舊相同，只是不同的常數(shù)會出現(xiàn)在方程內(nèi)部不同位置。

國際單位制是最常使用的單位制，整個工程學(xué)領(lǐng)域都采用這種單位制，大多數(shù)化學(xué)家也都使用這種單位制，大學(xué)物理教科書幾乎都采用這種單位制。其它常用的單位制有高斯單位制、洛倫茲-赫維賽德單位制（Lorentz-Heaviside units）和普朗克單位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯單位制，比較適合于教學(xué)用途，能夠使得方程看起來更簡單、更易懂。洛倫茲-赫維賽德單位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理學(xué)；普朗克單位制是一種自然單位制，其單位都是根據(jù)自然的性質(zhì)定義，不是由人為設(shè)定。普朗克單位制是研究理論物理學(xué)非常有用的工具，能夠給出很大的啟示。在本頁里，除非特別說明，所有方程都采用國際單位制。

這里展示出麥克斯韋方程組的兩種等價表述。第一種表述如下：

這種表述將自由電荷和束縛電荷總和為高斯定律所需要的總電荷，又將自由電流、束縛電流和電極化電流總合為麥克斯韋-安培定律內(nèi)的總電流。這種表述采用比較基礎(chǔ)、微觀的觀點。這種表述可以應(yīng)用于計算在真空里有限源電荷與源電流所產(chǎn)生的電場與磁場。但是，對于物質(zhì)內(nèi)部超多的電子與原子核，實際而言，無法一一納入計算。事實上，經(jīng)典電磁學(xué)也不需要這么精確的答案。

第二種表述見前所述“積分形式”中的“一般形式”。它以自由電荷和自由電流為源頭，而不直接計算出現(xiàn)于電介質(zhì)的束縛電荷和出現(xiàn)于磁化物質(zhì)的束縛電流和電極化電流所給出的貢獻(xiàn)。由于在一般實際狀況，能夠直接控制的參數(shù)是自由電荷和自由電流，而束縛電荷、束縛電流和電極化電流是物質(zhì)經(jīng)過極化后產(chǎn)生的現(xiàn)象，采用這種表述會使得在介電質(zhì)或磁化物質(zhì)內(nèi)各種物理計算更加簡易。

表面上看，麥克斯韋方程組似乎是超定的（overdetermined）方程組，它只有六個未知量（矢量電場、磁場各擁有三個未知量，電流與電荷不是未知量，而是自由設(shè)定并符合電荷守恒的物理量），但卻有八個方程（兩個高斯定律共有兩個方程，法拉第定律與安培定律是矢量式，各含有三個方程）。這狀況與麥克斯韋方程組的某種有限重復(fù)性有關(guān)。從理論可以推導(dǎo)出，任何滿足法拉第定律與安培定律的系統(tǒng)必定滿足兩個高斯定律。

另一方面，麥克斯韋方程組又是不封閉的。只有給定了電磁介質(zhì)的特性，此方程組才能得到定解。

適用尺度

麥克斯韋方程組通常應(yīng)用于各種場的“宏觀平均場”。當(dāng)尺度縮小至微觀（microscopic scale），以至于接近單獨原子大小的時侯，這些場的局部波動差異將變得無法忽略，量子現(xiàn)象也會開始出現(xiàn)。只有在宏觀平均的前提下，一些物理量如物質(zhì)的電容率和磁導(dǎo)率才會得到有意義的定義值。

最重的原子核的半徑大約為7飛米（1fm=10-15m）。所以，在經(jīng)典電磁學(xué)里，微觀尺度指的是尺寸的數(shù)量級大于10-14m 。滿足微觀尺度，電子和原子核可以視為點電荷，微觀麥克斯韋方程組成立；否則，必需將原子核內(nèi)部的電荷分布納入考量。在微觀尺度計算出來的電場與磁場仍舊變化相當(dāng)劇烈，空間變化的距離數(shù)量級小于10-10m，時間變化的周期數(shù)量級在10-17至10-13秒之間。因此，從微觀麥克斯韋方程組，必需經(jīng)過經(jīng)典平均運算，才能得到平滑、連續(xù)、緩慢變化的宏觀電場與宏觀磁場。宏觀尺度的最低極限為10-8米。這意味著電磁波的反射與折射行為可以用宏觀麥克斯韋方程組來描述。以這最低極限為邊長，體積為10-24立方米的立方體大約含有106個原子核和電子。這么多原子核和電子的物理行為，經(jīng)過經(jīng)典平均運算，足以平緩任何劇烈的漲落。根據(jù)可靠文獻(xiàn)記載，經(jīng)典平均運算只需要在空間作平均運算，不需要在時間作平均運算，也不需要考慮到原子的量子效應(yīng)。

意義

場概念的產(chǎn)生，也有麥克斯韋的一份功勞，這是當(dāng)時物理學(xué)中一個偉大的創(chuàng)舉，因為正是場概念的出現(xiàn)，使當(dāng)時許多物理學(xué)家得以從牛頓“超距觀念”的束縛中擺脫出來，普遍地接受了電磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。

麥克斯韋方程組在電磁學(xué)與經(jīng)典電動力學(xué)中的地位，如同牛頓運動定律在牛頓力學(xué)中的地位一樣。以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經(jīng)典物理學(xué)最引以自豪的成就之一。它所揭示出的電磁相互作用的完美統(tǒng)一，為物理學(xué)家樹立了這樣一種信念：物質(zhì)的各種相互作用在更高層次上應(yīng)該是統(tǒng)一的。這個理論被廣泛地應(yīng)用到技術(shù)領(lǐng)域。

科學(xué)意義

(一)經(jīng)典場論是19世紀(jì)后期麥克斯韋在總結(jié)電磁學(xué)三大實驗定律并把它與力學(xué)模型進(jìn)行類比的基礎(chǔ)上創(chuàng)立起來的。但麥克斯韋的主要功績恰恰使他能夠跳出經(jīng)典力學(xué)框架的束縛：在物理上以“場”而不是以“力”作為基本的研究對象，在數(shù)學(xué)上引入了有別于經(jīng)典數(shù)學(xué)的矢量偏微分運算符。這兩條是發(fā)現(xiàn)電磁波方程的基礎(chǔ)。這就是說，實際上麥克斯韋的工作已經(jīng)沖破經(jīng)典物理學(xué)和當(dāng)時數(shù)學(xué)的框架，只是由于當(dāng)時的歷史條件，人們?nèi)匀恢荒軓呐ｎD的微積分和經(jīng)典力學(xué)的框架去理解電磁場理論。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)，Hilbert空間中的數(shù)學(xué)分析是在19世紀(jì)與20世紀(jì)之交的時候才出現(xiàn)的。而量子力學(xué)的物質(zhì)波的概念則在更晚的時候才被發(fā)現(xiàn)，特別是對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)與量子物理學(xué)之間的不可分割的數(shù)理邏輯聯(lián)系至今也還沒有完全被人們所理解和接受。從麥克斯韋建立電磁場理論到如今，人們一直以歐氏空間中的經(jīng)典數(shù)學(xué)作為求解麥克斯韋方程組的基本方法。

(二)我們從麥克斯韋方程組的產(chǎn)生、形式、內(nèi)容和它的歷史過程中可以看到：第一，物理對象是在更深的層次上發(fā)展成為新的公理表達(dá)方式而被人類所掌握，所以科學(xué)的進(jìn)步不會是在既定的前提下演進(jìn)的，一種新的具有認(rèn)識意義的公理體系的建立才是科學(xué)理論進(jìn)步的標(biāo)志。第二，物理對象與對它的表達(dá)方式雖然是不同的東西，但如果不依靠合適的表達(dá)方法就無法認(rèn)識到這個對象的“存在”。第三，我們正在建立的理論將決定到我們在何種層次的意義上使我們的對象成為物理事實，這正是現(xiàn)代最前沿的物理學(xué)所給我們帶來的困惑。

(三)麥克斯韋方程組揭示了電場與磁場相互轉(zhuǎn)化中產(chǎn)生的對稱性優(yōu)美，這種優(yōu)美以現(xiàn)代數(shù)學(xué)形式得到充分的表達(dá)。但是，我們一方面應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式才能充分展示經(jīng)驗方法中看不到的整體性（電磁對稱性）；另一方面，我們也不應(yīng)當(dāng)忘記，這種對稱性的優(yōu)美是以數(shù)學(xué)形式反映出來的電磁場的統(tǒng)一本質(zhì)。因此，我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到應(yīng)在數(shù)學(xué)的表達(dá)方式中“發(fā)現(xiàn)”或“看出”了這種對稱性，而不是從物理數(shù)學(xué)公式中直接推演出這種本質(zhì)。