公元前5世紀，芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜的10倍。當比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，設所用的時間為t，此時烏龜便領先他100米；當阿基里斯跑完下一個100米時，他所用的時間為t/10，烏龜仍然前于他10米；當阿基里斯跑完下一個10米時，他所用的時間為t/100，烏龜仍然前于他1米……芝諾認為，阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，但決不可能追上它。

悖論解釋

關于阿基里斯悖論的一個解釋是：阿基里斯的確永遠也追不上烏龜。雖然現實中我們知道阿基里斯超越烏龜非常簡單，但是它是如何超過烏龜的在過去卻一直存在爭論。

現代物理學已經證明了時間和空間不是可以無限分割的，所以總有最為微小的一個時間里，阿基里斯和烏龜共同前進了一個空間單位，從此阿基里斯順利超過烏龜。

產生原因

芝諾悖論的產生原因，是在于“芝諾時”不可能度量阿基里斯追上烏龜后的現象。在芝諾時達到無限后，正常計時仍可以進行，只不過芝諾的“鐘”已經無法度量它們了。這個悖論實際上是反映時空并不是無限可分的，運動也不是連續(xù)的。

通俗一點講，我們都知道一條線是由無數個點組成的，但這個“無數個點”并不能說我們無法畫出一條線。也就是說就是芝諾偷換了概念，（1 0.1 0.01 ……）t其實是一個有限的時間，但他認為這個時間是無限大的，只要時間超過（1 0.1 0.01 ……）t阿基里斯就追上了烏龜。

哲學辨析

阿基里斯悖論分離了運動與靜止，夸大了相對靜止，而否認了絕對運動，是形而上學說。

黑格爾在《小邏輯》中說：“辯證法切不可與單純的詭辯相混淆。詭辯的本質在于孤立起來看事物，把本身片面的、抽象的規(guī)定，認為是可靠的?！鞭q證唯物主義認為，運動與靜止是對立統(tǒng)一的辯證關系。

一方面，運動與靜止的對立表現在：運動是絕對的，靜止是相對的，二者相互區(qū)別，不可混淆。所謂運動是絕對的是說，運動是物質的根本屬性，任何事物在任何條件下都是永恒運動的，是無條件的。所謂靜止是相對的是說，靜止是運動在特定條件下的特殊狀態(tài)，是有條件的。

另一方面，運動與靜止的統(tǒng)一表現在：運動和靜止是相互依存、相互貫通的，即所謂動中有靜、靜中有動。在運動與靜止關系上有兩種形而上學的錯誤：一種是割裂運動與靜止的關系，否認運動，只講靜止，將靜止絕對化的形而上學不動論；一種是割裂運動與靜止的關系，只講運動，否認靜止的形而上學相對主義和詭辯論。

簡單證明

關于阿基里斯追龜的問題，我們可以很簡單地證明阿基里斯追上了烏龜。

我們設烏龜先前所走過的所有的點屬于集合B，烏龜現在所在的點標志為b，烏龜所走過的所有的點是集合A，A由集合B中所有的點加上b點構成。只要是烏龜先前所在的點，都是阿基里斯可以走到的，因而阿基里斯可以走到集合B中所有的點。那么，我們能不能在集合A中找到一個點，它既不屬于B，也不是b，回答是不能的。因而如果阿基里斯走過了集合B中所有的點，阿基里斯與b點的距離就已經是0（如果不是0，則應該在阿基里斯與b點之間還會存在著一個點，但這個點并不存在），也就是說，阿基里斯已經追上了烏龜。

而按照我們悖論所設定的條件，阿基里斯是可以走到烏龜先前所走過的所有的點的。因而阿基里斯追到了烏龜。但在上面的分析中，我們發(fā)現了一個有趣的矛盾，這就是b既屬于B又不屬于B，也就是說，b既是現在又是先前。而且這是阿基里斯得以追上烏龜的前提和條件。這樣的一個有趣的結論，是決不可能為具有形而上學頭腦的那些數學家們所接受的。

此悖論假設阿基里斯永遠只能到達龜前一個時間段到達的地方，即追上的前一個時間段，此時條件未發(fā)生變化，并先承認此時間段兩者間仍有差異，然后用不同的時間段進行重復換算，假設條件仍未變化。而在此時間段的下一個口徑相同的時間段里，阿基米斯就會追上。

相反觀點：這證明是錯誤的。因為證明假設了阿基里斯可以走一個點，在事實上回避了悖論中無法找第1點問題實質。故此證明和悖論無關，只是把小學應用題用集合論復述了一遍。

推翻悖論

其實，我們根據中學所學過的無窮等比遞縮數列求和的知識，只需列一個方程就可以輕而易舉地推翻芝諾的悖論：阿基里斯在跑了

1000（1 0.1 0.01 …………）=1000(1 1/9)=10000/9米時便可趕上烏龜。

人們認為數列1 0.1 0.01 …………是永遠也不能窮盡的。這只不過是一個錯覺。

我們不妨來計算一下阿基里斯能夠追上烏龜的時間為t（1 0.1 0.01 …………）=t (1 1/9)=10t/9

芝諾所說的阿基里斯不可能追上烏龜，就隱藏著時間必須小于10t/9這樣一個條件。

由于阿基里斯和烏龜是在不斷地運動的，對時間是沒有限制的，時間很容易突破10t/9這樣一個條件。一旦突破10t/9這樣一個條件，阿基里斯就追上了或超過了烏龜。

人們被距離數列1 0.1 0.01 …………好像是永遠也不能窮盡的假象迷惑了，沒有考慮到時間數列1 0.1 0.01 …………是很容易達到和超過的了。

但是不是所有的數列都能達到，所以，我們看問題不能太極端。例如無論多少個點也不能組成直線，對于點的個數來說，我們就永遠無法窮盡它。

其實，以上的證明是無法推翻這個悖論的。因為這個證明用到了極限這個概念。然而，極限這個概念，正是為了解決阿基里斯悖論而定義出來的一個概念。用這個概念再反證這個悖論很明顯是不合理的。

無限的細分并不代表不會從時間1流入時間2，否則你的時鐘將永遠停留在59分59.9999............秒。

阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，在某一時間點之前無法追上。但永遠追不上這一結果并不成立，因為這一悖論只引導去考慮追上之前的距離，而不是追上的這一距離。

悖論正解

悖論隱含的假設就是阿基里斯沒有追上龜，為什么呢？阿基里斯的每一段，都是烏龜跑完了，才讓阿基里斯才跑的。只是想當然的用了一開始的距離差，而這個距離差為逐段變小。

而這個趨近過程又想用時間衡量，恰好時間和距離，都可以無限劃分。靜止也存在這樣的接近過程，舉個例子：假設烏龜是靜止的，讓阿基里斯以這樣的方式跑。900米，90米，9米，0.9米……，這樣他也追不上烏龜啊，也同樣變不成零，因為你的假設就是距離的無限小，這只是在尋找最短的距離。這個就關系到極限了。就像在找最小的物質粒子一樣。