公元前5世紀(jì)，芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍。當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，設(shè)所用的時(shí)間為t，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，他所用的時(shí)間為t/10，烏龜仍然前于他10米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，他所用的時(shí)間為t/100，烏龜仍然前于他1米……芝諾認(rèn)為，阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，但決不可能追上它。

悖論解釋

關(guān)于阿基里斯悖論的一個(gè)解釋是：阿基里斯的確永遠(yuǎn)也追不上烏龜。雖然現(xiàn)實(shí)中我們知道阿基里斯超越烏龜非常簡單，但是它是如何超過烏龜?shù)脑谶^去卻一直存在爭論。

現(xiàn)代物理學(xué)已經(jīng)證明了時(shí)間和空間不是可以無限分割的，所以總有最為微小的一個(gè)時(shí)間里，阿基里斯和烏龜共同前進(jìn)了一個(gè)空間單位，從此阿基里斯順利超過烏龜。

產(chǎn)生原因

芝諾悖論的產(chǎn)生原因，是在于“芝諾時(shí)”不可能度量阿基里斯追上烏龜后的現(xiàn)象。在芝諾時(shí)達(dá)到無限后，正常計(jì)時(shí)仍可以進(jìn)行，只不過芝諾的“鐘”已經(jīng)無法度量它們了。這個(gè)悖論實(shí)際上是反映時(shí)空并不是無限可分的，運(yùn)動(dòng)也不是連續(xù)的。

通俗一點(diǎn)講，我們都知道一條線是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，但這個(gè)“無數(shù)個(gè)點(diǎn)”并不能說我們無法畫出一條線。也就是說就是芝諾偷換了概念，（1 0.1 0.01 ……）t其實(shí)是一個(gè)有限的時(shí)間，但他認(rèn)為這個(gè)時(shí)間是無限大的，只要時(shí)間超過（1 0.1 0.01 ……）t阿基里斯就追上了烏龜。

哲學(xué)辨析

阿基里斯悖論分離了運(yùn)動(dòng)與靜止，夸大了相對靜止，而否認(rèn)了絕對運(yùn)動(dòng)，是形而上學(xué)說。

黑格爾在《小邏輯》中說：“辯證法切不可與單純的詭辯相混淆。詭辯的本質(zhì)在于孤立起來看事物，把本身片面的、抽象的規(guī)定，認(rèn)為是可靠的。”辯證唯物主義認(rèn)為，運(yùn)動(dòng)與靜止是對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。

一方面，運(yùn)動(dòng)與靜止的對立表現(xiàn)在：運(yùn)動(dòng)是絕對的，靜止是相對的，二者相互區(qū)別，不可混淆。所謂運(yùn)動(dòng)是絕對的是說，運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)的根本屬性，任何事物在任何條件下都是永恒運(yùn)動(dòng)的，是無條件的。所謂靜止是相對的是說，靜止是運(yùn)動(dòng)在特定條件下的特殊狀態(tài)，是有條件的。

另一方面，運(yùn)動(dòng)與靜止的統(tǒng)一表現(xiàn)在：運(yùn)動(dòng)和靜止是相互依存、相互貫通的，即所謂動(dòng)中有靜、靜中有動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)與靜止關(guān)系上有兩種形而上學(xué)的錯(cuò)誤：一種是割裂運(yùn)動(dòng)與靜止的關(guān)系，否認(rèn)運(yùn)動(dòng)，只講靜止，將靜止絕對化的形而上學(xué)不動(dòng)論；一種是割裂運(yùn)動(dòng)與靜止的關(guān)系，只講運(yùn)動(dòng)，否認(rèn)靜止的形而上學(xué)相對主義和詭辯論。

簡單證明

關(guān)于阿基里斯追龜?shù)膯栴}，我們可以很簡單地證明阿基里斯追上了烏龜。

我們設(shè)烏龜先前所走過的所有的點(diǎn)屬于集合B，烏龜現(xiàn)在所在的點(diǎn)標(biāo)志為b，烏龜所走過的所有的點(diǎn)是集合A，A由集合B中所有的點(diǎn)加上b點(diǎn)構(gòu)成。只要是烏龜先前所在的點(diǎn)，都是阿基里斯可以走到的，因而阿基里斯可以走到集合B中所有的點(diǎn)。那么，我們能不能在集合A中找到一個(gè)點(diǎn)，它既不屬于B，也不是b，回答是不能的。因而如果阿基里斯走過了集合B中所有的點(diǎn)，阿基里斯與b點(diǎn)的距離就已經(jīng)是0（如果不是0，則應(yīng)該在阿基里斯與b點(diǎn)之間還會(huì)存在著一個(gè)點(diǎn)，但這個(gè)點(diǎn)并不存在），也就是說，阿基里斯已經(jīng)追上了烏龜。

而按照我們悖論所設(shè)定的條件，阿基里斯是可以走到烏龜先前所走過的所有的點(diǎn)的。因而阿基里斯追到了烏龜。但在上面的分析中，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的矛盾，這就是b既屬于B又不屬于B，也就是說，b既是現(xiàn)在又是先前。而且這是阿基里斯得以追上烏龜?shù)那疤岷蜅l件。這樣的一個(gè)有趣的結(jié)論，是決不可能為具有形而上學(xué)頭腦的那些數(shù)學(xué)家們所接受的。

此悖論假設(shè)阿基里斯永遠(yuǎn)只能到達(dá)龜前一個(gè)時(shí)間段到達(dá)的地方，即追上的前一個(gè)時(shí)間段，此時(shí)條件未發(fā)生變化，并先承認(rèn)此時(shí)間段兩者間仍有差異，然后用不同的時(shí)間段進(jìn)行重復(fù)換算，假設(shè)條件仍未變化。而在此時(shí)間段的下一個(gè)口徑相同的時(shí)間段里，阿基米斯就會(huì)追上。

相反觀點(diǎn)：這證明是錯(cuò)誤的。因?yàn)樽C明假設(shè)了阿基里斯可以走一個(gè)點(diǎn)，在事實(shí)上回避了悖論中無法找第1點(diǎn)問題實(shí)質(zhì)。故此證明和悖論無關(guān)，只是把小學(xué)應(yīng)用題用集合論復(fù)述了一遍。

推翻悖論

其實(shí)，我們根據(jù)中學(xué)所學(xué)過的無窮等比遞縮數(shù)列求和的知識(shí)，只需列一個(gè)方程就可以輕而易舉地推翻芝諾的悖論：阿基里斯在跑了

1000（1 0.1 0.01 …………）=1000(1 1/9)=10000/9米時(shí)便可趕上烏龜。

人們認(rèn)為數(shù)列1 0.1 0.01 …………是永遠(yuǎn)也不能窮盡的。這只不過是一個(gè)錯(cuò)覺。

我們不妨來計(jì)算一下阿基里斯能夠追上烏龜?shù)臅r(shí)間為t（1 0.1 0.01 …………）=t (1 1/9)=10t/9

芝諾所說的阿基里斯不可能追上烏龜，就隱藏著時(shí)間必須小于10t/9這樣一個(gè)條件。

由于阿基里斯和烏龜是在不斷地運(yùn)動(dòng)的，對時(shí)間是沒有限制的，時(shí)間很容易突破10t/9這樣一個(gè)條件。一旦突破10t/9這樣一個(gè)條件，阿基里斯就追上了或超過了烏龜。

人們被距離數(shù)列1 0.1 0.01 …………好像是永遠(yuǎn)也不能窮盡的假象迷惑了，沒有考慮到時(shí)間數(shù)列1 0.1 0.01 …………是很容易達(dá)到和超過的了。

但是不是所有的數(shù)列都能達(dá)到，所以，我們看問題不能太極端。例如無論多少個(gè)點(diǎn)也不能組成直線，對于點(diǎn)的個(gè)數(shù)來說，我們就永遠(yuǎn)無法窮盡它。

其實(shí)，以上的證明是無法推翻這個(gè)悖論的。因?yàn)檫@個(gè)證明用到了極限這個(gè)概念。然而，極限這個(gè)概念，正是為了解決阿基里斯悖論而定義出來的一個(gè)概念。用這個(gè)概念再反證這個(gè)悖論很明顯是不合理的。

無限的細(xì)分并不代表不會(huì)從時(shí)間1流入時(shí)間2，否則你的時(shí)鐘將永遠(yuǎn)停留在59分59.9999............秒。

阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，在某一時(shí)間點(diǎn)之前無法追上。但永遠(yuǎn)追不上這一結(jié)果并不成立，因?yàn)檫@一悖論只引導(dǎo)去考慮追上之前的距離，而不是追上的這一距離。

悖論正解

悖論隱含的假設(shè)就是阿基里斯沒有追上龜，為什么呢？阿基里斯的每一段，都是烏龜跑完了，才讓阿基里斯才跑的。只是想當(dāng)然的用了一開始的距離差，而這個(gè)距離差為逐段變小。

而這個(gè)趨近過程又想用時(shí)間衡量，恰好時(shí)間和距離，都可以無限劃分。靜止也存在這樣的接近過程，舉個(gè)例子：假設(shè)烏龜是靜止的，讓阿基里斯以這樣的方式跑。900米，90米，9米，0.9米……，這樣他也追不上烏龜啊，也同樣變不成零，因?yàn)槟愕募僭O(shè)就是距離的無限小，這只是在尋找最短的距離。這個(gè)就關(guān)系到極限了。就像在找最小的物質(zhì)粒子一樣。