羅素悖論是由羅素發(fā)現(xiàn)的一個(gè)集合論悖論，其基本思想是：對(duì)于任意一個(gè)集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A?A。根據(jù)康托爾集合論的概括原則，可將所有不是自身元素的集合構(gòu)成一個(gè)集合S1，即S1={x:x?x}。

簡(jiǎn)介

20世紀(jì)之初，數(shù)學(xué)界甚至整個(gè)科學(xué)界籠罩在一片喜悅祥和的氣氛之中，科學(xué)家們普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性已經(jīng)達(dá)到，科學(xué)大廈已經(jīng)基本建成。例如，德國物理學(xué)家基爾霍夫（G．R．Kirchhoff）就曾經(jīng)說過：“物理學(xué)將無所作為了，至多也只能在已知規(guī)律的公式的小數(shù)點(diǎn)后面加上幾個(gè)數(shù)字罷了?！庇锢韺W(xué)家開爾文（L．Kelvin）在1900年回顧物理學(xué)的發(fā)展時(shí)也說：“在已經(jīng)基本建成的科學(xué)大廈中，后輩物理學(xué)家只能做一些零碎的修補(bǔ)工作了?！狈▏髷?shù)學(xué)家彭迦萊（Poincar6）在1900年的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上也公開宣稱，數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性，現(xiàn)在看來可以說是實(shí)現(xiàn)了。然而好景不長，時(shí)隔不到兩年，科學(xué)界就發(fā)生了一件大事，這件大事就是羅素（Russell）悖論的發(fā)現(xiàn)。

例子

理發(fā)師悖論

在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對(duì)各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人?？墒?，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

理發(fā)師悖論與羅素悖論是等價(jià)的：如果把每個(gè)人看成一個(gè)集合，這個(gè)集合的元素被定義成這個(gè)人刮臉的對(duì)象。那么，理發(fā)師宣稱，他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己？這樣就由理發(fā)師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

“理發(fā)師悖論”是很容易解決的，解決的辦法之一就是修正理發(fā)師的規(guī)矩，將他自己排除在規(guī)矩之外；可是嚴(yán)格的羅素悖論就不是這么容易解決的了。

書目悖論

一個(gè)圖書館編纂了一本書名詞典，它列出這個(gè)圖書館里所有不列出自己書名的書。那么它列不列出自己的書名？這個(gè)悖論與理發(fā)師悖論基本一致。

影響

十九世紀(jì)下半葉，德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時(shí)，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石?！耙磺袛?shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?/p>

1903年，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的。這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合論產(chǎn)生了危機(jī)。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動(dòng)。德國的著名邏輯學(xué)家弗雷格在他的關(guān)于集合的基礎(chǔ)理論完稿付印時(shí)，收到了羅素關(guān)于這一悖論的信。他立刻發(fā)現(xiàn)，自己忙了很久得出的一系列結(jié)果卻被這條悖論攪得一團(tuán)糟。他只能在自己著作的末尾寫道：“一個(gè)科學(xué)家所碰到的最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時(shí)卻發(fā)現(xiàn)所干的工作的基礎(chǔ)崩潰了?！?/p>

公理化集合論的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但在另一方面，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭(zhēng)，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派，而各派的工作又都促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展。

于是，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)被動(dòng)搖了，這就是所謂的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

羅素的悖論發(fā)表之后，接著又發(fā)現(xiàn)一系列悖論（后來歸入所謂語義悖論）：

1.理查德悖論

2.培里悖論

3.格瑞林和納爾遜悖論

悖論的解決

羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S：S由一切不屬于自身的集合所組成。然后羅素問：s是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對(duì)這個(gè)看似合理的問題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果s屬于S，根據(jù)S的定義，s就不屬于S；反之，如果s不屬于S，同樣根據(jù)定義，s就屬于S。無論如何都是矛盾的。

羅素悖論提出后，數(shù)學(xué)家們紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過對(duì)集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則?！斑@些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來?！苯鉀Q這一悖論主要有兩種選擇，ZF公理系統(tǒng)和NBG公理系統(tǒng)。

1908年，策梅羅（Ernst Zermelo）在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系，后來這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。這一公理系統(tǒng)在通過弗蘭克爾（Abraham Fraenkel）的改進(jìn)后被稱為ZF公理系統(tǒng)。在該公理系統(tǒng)中，由于分類公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一個(gè)性質(zhì)，對(duì)任意已知集合A，存在一個(gè)集合B使得對(duì)所有元素x∈B當(dāng)且僅當(dāng)x∈A且P(x)；因此{(lán)x∣x是一個(gè)集合}并不能在該系統(tǒng)中寫成一個(gè)集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通過該公理，存在集合A={x∣x是一個(gè)集合}在ZF系統(tǒng)中能被證明是矛盾的，因此羅素悖論在該系統(tǒng)中被避免了。

除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如馮·諾伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系統(tǒng)等。在該公理系統(tǒng)中，所有包含集合的"collection"都能被稱為類(class)，凡是集合也能被稱為類，但是某些collection太大了（比如一個(gè)collection包含所有集合）以至于不能是一個(gè)集合，因此只能是個(gè)類。這同樣也避免了羅素悖論。