基本介紹

《海島算經(jīng)》由劉徽于三國(guó)魏景元四年（公元263年）所撰，本為《九章算術(shù)注》之第十卷，題為《重差》。唐初開始單行，體例亦是以應(yīng)用問(wèn)題集的形式。研究的對(duì)象全是有關(guān)高與距離的測(cè)量，所使用的工具也都是利用垂直關(guān)系所連接起來(lái)的測(cè)竿與橫棒。有人說(shuō)是實(shí)用三角法的啟蒙，不過(guò)其內(nèi)容并未涉及三角學(xué)中的正余弦概念。所有問(wèn)題都是利用兩次或多次測(cè)望所得的數(shù)據(jù)，來(lái)推算可望而不可及的目標(biāo)的高、深、廣、遠(yuǎn)。此卷書被收集于明成祖時(shí)編修的永樂大典中，現(xiàn)保存在英國(guó)劍橋大學(xué)圖書館。劉徽也曾對(duì)九章算數(shù)重編并加以注釋。全書共9題，全是利用測(cè)量來(lái)計(jì)算高深廣遠(yuǎn)的問(wèn)題，首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)，故得名。

內(nèi)容介紹

《海島算經(jīng)》共九問(wèn)。都是用表尺重復(fù)從不同位置測(cè)望，取測(cè)量所得的差數(shù)，進(jìn)行計(jì)算從而求得山高或谷深，這就是劉徽的重差理論?！逗u算經(jīng)》中，從題目文字可知所有計(jì)算都是用籌算進(jìn)行的?！盀閷?shí)”指作為一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子，“為法”指作為分?jǐn)?shù)的分母。所用的長(zhǎng)度單位有里、丈、步、尺、寸；1里=180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。

（1）今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問(wèn)島高及去表各幾何？答曰：島高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。

翻譯：假設(shè)測(cè)量海島，立兩根表高均為3丈，前后相距1000步，令后表與前表在同一直線上，從前表退行123步,

人目著地觀測(cè)到島峰，從后表退行127步，人目著地觀測(cè)到島峰，問(wèn)島高多少島與前表相距多遠(yuǎn)？

術(shù)曰：以表高乘表間為實(shí)；相多為法，除之。所得加表高，即得島高。求前表去島遠(yuǎn)近者：以前表卻行乘表間為實(shí)；相多為法。除之，得島去表數(shù)。

（2）今有望松生山上，不知高下。立兩表齊，高二丈，前後相去五十步，令後表與前表參相直。從前表卻行七步四尺，薄地遙望松末，與表端參合。又望松本，入表二尺八寸。復(fù)從後表卻行八步五尺，薄地遙望松末，亦與表端參合。問(wèn)松高及山去表各幾何？答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。

術(shù)曰：以入表乘表間為實(shí)。相多為法，除之。加入表，即得松高。求表去山遠(yuǎn)近者：置表間，以前表卻行乘之為實(shí)。相多為法，除之，得山去表。

（3）今有南望方邑，不知大小。立兩表東、西去六丈，齊人目，以索連之。令東表與邑東南隅及東北隅參相直。當(dāng)東表之北卻行五步，遙望邑西北隅，入索東端二丈二尺六寸半。又卻北行去表一十三步二尺，遙望邑西北隅，適與西表相參合。問(wèn)邑方及邑去表各幾何？答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。

術(shù)曰：以入索乘後去表，以兩表相去除之，所得為景長(zhǎng)；以前去表減之，不盡以為法。置後去表，以前去表減之，余以乘入索為實(shí)。實(shí)如法而一，得邑方。求去表遠(yuǎn)近者：置後去表，以景長(zhǎng)減之，余以乘前去表為實(shí)。實(shí)如法而一，得邑去表。

（4）今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。從勺端望谷底，入下股九尺一寸。又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈。更從勺端望谷底，入上股八尺五寸。問(wèn)谷深幾何？答曰：四十一丈九尺。

術(shù)曰：置矩間，以上股乘之，為實(shí)。上、下股相減，余為法，除之。所得以勾高減之，即得谷深。

（5）今有登山望樓，樓在平地。偃矩山上，令勾高六尺。從勾端斜望樓足，入下股一丈二尺。又設(shè)重矩於上，令其間相去三丈。更從勾端斜望樓足，入上股一丈一尺四寸。又立小表於入股之會(huì)，復(fù)從勾端斜望樓岑端，入小表八寸。問(wèn)樓高幾何？答曰：八丈。

術(shù)曰：上、下股相減，余為法；置矩間，以下股乘之，如勾高而一。所得，以入小表乘之，為實(shí)。實(shí)如法而，即是樓高。

（6）今有東南望波口，立兩表南、北相去九丈，以索薄地連之。當(dāng)北表之西卻行去表六丈，薄地遙望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又卻行，後去表一十三丈五尺。薄地遙望波口南岸，與南表參合。問(wèn)波口廣幾何？答曰：一里二百步。

術(shù)曰：以後去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表減之，余以為法；復(fù)以前去表減後去表，余以乘入所望表里為實(shí)，實(shí)如法而一，得波口廣。

（7）今有望清淵下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又設(shè)重矩於上，其間相去四尺。更從勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。問(wèn)水深幾何？答曰：一丈二尺。

術(shù)曰：置望水上、下股相減，余以乘望石上股為上率。又以望石上、下股相減，余以乘望水上股為下率。兩率相減，余以乘矩間為實(shí)；以二差相乘為法。實(shí)如法而一，得水深。

（8）今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令勾高一丈二尺。從勾端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高巖，北卻行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更從勾端斜望津南岸，入上股二丈二尺。問(wèn)津廣幾何？答曰：二里一百二步。

術(shù)曰：以勾高乘下股，如上股而一。所得以勾高減之，余為法；置北行，以勾高乘之，如上股而一。所得以減上登，余以乘入股里為實(shí)。實(shí)如法而一，即得津廣。

（9）今有登山臨邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端與邑東南隅及東北隅參相直。從勾端遙望東北隅，入下股一丈二尺。又施橫勾於入股之會(huì)，從立勾端望西北隅，入橫勾五尺。望東南隅，入下股一丈八尺。又設(shè)重矩於上，令矩間相去四丈。更從立勾端望東南隅，入上股一丈七尺五寸。問(wèn)邑廣長(zhǎng)各幾何？答曰：南北長(zhǎng)一里百步；東西廣一里三十三步、少半步。

術(shù)曰：以勾高乘東南隅入下股，如上股而一，所得減勾高，余為法；以東北隅下股減東南隅下股，余以乘矩間為實(shí)。實(shí)如法而一，得邑南北長(zhǎng)也。求邑廣：以入橫勾乘矩間為實(shí)。實(shí)如法而一，即得邑東西廣。

作者介紹

劉徽（生于公元250年左右），是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。

《九章算術(shù)》約成書于東漢之初，共有246個(gè)問(wèn)題的解法．在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對(duì)此均作了補(bǔ)充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)．他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示無(wú)理數(shù)的立方根．在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了“割圓術(shù)”，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法．他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果．劉徽在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作。

鑒賞評(píng)價(jià)

3世紀(jì)劉徽《海島算經(jīng)》運(yùn)用二次、三次、四次測(cè)望法，是測(cè)量學(xué)歷史上領(lǐng)先的創(chuàng)造中外學(xué)者對(duì)《海島算經(jīng)》的成就，給予很高的評(píng)價(jià)。《海島算經(jīng)》的英譯者和研究者，美國(guó)數(shù)學(xué)家弗蘭克·斯委特茲，在比較西歐測(cè)量學(xué)從古代希臘、羅馬直到文藝復(fù)興時(shí)期的發(fā)展，認(rèn)為希臘測(cè)量術(shù)，重點(diǎn)在測(cè)量器具的運(yùn)用，而其數(shù)學(xué)水準(zhǔn)遠(yuǎn)不如劉徽《海島算經(jīng)》，直到文藝復(fù)興時(shí)代，才差強(qiáng)達(dá)到《海島算經(jīng)》水準(zhǔn)。他還指出17世紀(jì)初意大利來(lái)華傳教士利瑪竇和中國(guó)徐光啟合著的《測(cè)量法義》十五題，并未能達(dá)到或超越《海島算經(jīng)》。他結(jié)論；“簡(jiǎn)而言之，在測(cè)量數(shù)學(xué)領(lǐng)域，中國(guó)人的成就，超越西方世界約一千年?！?/p>

《中國(guó)數(shù)學(xué)大系》一書中評(píng)價(jià)《海島算經(jīng)》：“使中國(guó)測(cè)量學(xué)達(dá)到登峰造極的地步。在西歐直到16，17世紀(jì)，才出現(xiàn)二次測(cè)量術(shù)的記載，到18世紀(jì)，才有了三、四次測(cè)量之術(shù)，可見中國(guó)古代測(cè)量學(xué)的意境之深，功用之廣”。劉徽《海島算經(jīng)》的測(cè)量術(shù)，實(shí)比歐洲早一千三百至一千五百年。

其他信息

歷代研究

南北朝數(shù)學(xué)家祖沖之曾為《九章重差圖》作注。唐朝將《九章重差圖》從《劉徽九章算術(shù)注》中分離出來(lái)單獨(dú)成書，以第一題“今有望海島”取名為《海島算經(jīng)》。唐高宗顯慶元年（656年）數(shù)學(xué)家李淳風(fēng)等注釋《算經(jīng)十書》，作為國(guó)子監(jiān)學(xué)習(xí)和考試用書，《海島算經(jīng)》就是《算經(jīng)十書》之一，并且規(guī)定《海島算經(jīng)》的學(xué)習(xí)期限為三年，是其他算經(jīng)學(xué)習(xí)期限的三倍，可見《海島算經(jīng)》在唐代受重視的程度。北宋元豐七年（1084年）和南宋寧宗嘉定六年（1213年）先后刻印兩次。但宋刻本《海島算經(jīng)》后來(lái)遺失。南宋秦九韶研究過(guò)類似于海島算經(jīng)的測(cè)量書題目《表望浮屠》南宋數(shù)學(xué)家楊輝《續(xù)古摘奇算法》討論了四種測(cè)量問(wèn)題，包括來(lái)自《海島算經(jīng)》海島題，并指出“登高望松，遙望波口，非三望之術(shù)乎？清淵白石、登山臨邑，非四望之術(shù)乎？”。明永樂年間收入《永樂大典》，但只存劉徽文字和李淳風(fēng)注，劉徽原圖和劉徽所作的注釋已不存。元朝數(shù)學(xué)家朱世杰《四元玉鑒》《勾股測(cè)望》門第四，六，七，八等四問(wèn)用天元術(shù)闡述《海島算經(jīng)》的《望海島》，《望深谷》，《南望方邑》，《望清淵》。清乾隆時(shí)代，經(jīng)學(xué)家戴震將《海島算經(jīng)》文字，從《永樂大典》中輯錄出來(lái)收入《四庫(kù)全書》。清代數(shù)學(xué)家李潢著《海島算經(jīng)細(xì)草圖說(shuō)》，沈欽裴著《重差圖說(shuō)》，均以歐幾里德幾何學(xué)論證，已失劉徽原意。李鏐著《海島算經(jīng)緯筆》。到民國(guó)時(shí)期，中算史家李儼《重差術(shù)流源及其新注》和《中國(guó)古代中算家的測(cè)繪術(shù)》，《海島算經(jīng)新注》都對(duì)《海島算經(jīng)》有所論述。

中國(guó)數(shù)學(xué)家白尚恕對(duì)海島算經(jīng)有較詳細(xì)的論證。吳文俊院士論文《我國(guó)古代測(cè)望之學(xué)重差理論評(píng)介兼評(píng)數(shù)學(xué)史研究中的某些方法問(wèn)題》與《海島算經(jīng)古證探源》兩篇論文對(duì)《海島算經(jīng)》有詳細(xì)的論證，前文批評(píng)一些前人對(duì)《海島算經(jīng)》的論證中添加歐幾里德幾何的平行線或利用相似形理論或后代的代數(shù)論證的方法，顛倒歷史，都是錯(cuò)誤的方法，并提出正確的論證，必須以劉徽時(shí)代的出入相補(bǔ)原理為基礎(chǔ)，才能還原《海島算經(jīng)》的本來(lái)面目。

傳播海外

《海島算經(jīng)》在唐代傳入朝鮮、日本。最早向西方介紹《海島算經(jīng)》的是19世紀(jì)來(lái)華傳教士偉烈亞力。他1852年在《北華捷報(bào)》（North China Herald，《字林西報(bào)》前身）發(fā)表的論文：《中國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)札記》（Jottings on the Sciences of Chinese Mathematics）。偉烈亞力在文中介紹了《海島算經(jīng)》，說(shuō)此書是“一部關(guān)于實(shí)用三角學(xué)的九個(gè)問(wèn)題”。1913年日本數(shù)學(xué)史家三上義夫在其英文著作《中國(guó)與日本數(shù)學(xué)的發(fā)展》第五章《海島算經(jīng)》中譯出頭三則問(wèn)題1932年法國(guó)數(shù)學(xué)家 L·van·Hee翻譯《海島算經(jīng)》全文。

1986年澳大利亞華人數(shù)學(xué)家洪天賜和美國(guó)數(shù)學(xué)家弗蘭克·斯委特茲將《海島算經(jīng)》全文翻譯成英文還有日文翻譯本和俄文翻譯本。