人物簡介

朱世杰“以數(shù)學名家周游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。

宋元時期，中國數(shù)學鼎盛時期中杰出的數(shù)學家有“秦九韶、李冶、楊輝、朱世杰四大家”，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民數(shù)學家和數(shù)學教育家。朱世杰平生勤力研習《九章算術(shù)》，旁通其它各種算法，成為元代著名數(shù)學家。

生平經(jīng)歷

元統(tǒng)一中國后，朱世杰曾以數(shù)學家的身份周游各地20余年，向他求學的人很多，他到廣陵(今揚州)時“踵門而學者云集”。他全面繼承了前人數(shù)學成果，既吸收了北方的天元術(shù)，又吸收了南方的正負開方術(shù)、各種日用算法及通俗歌訣，在此基礎(chǔ)上進行了創(chuàng)造性的研究，寫成以總結(jié)和普及當時各種數(shù)學知識為宗旨的《算學啟蒙》(3卷)，又寫成四元術(shù)的代表作--《四元玉鑒》(3卷)，先后于：1299年和1303年刊?。端銓W啟蒙》由淺入深，從一位數(shù)乘法開始，一直講到當時的最新數(shù)學成果――天元術(shù)，形成一個完整體系。

書中明確提出正負數(shù)乘法法則，給出倒數(shù)的概念和基本性質(zhì)，概括出若干新的乘法公式和根式運算法則，總結(jié)了若干乘除捷算口訣，并把設(shè)輔助未知數(shù)的方法用于解線性方程組．《四元玉鑒》的主要內(nèi)容是四元術(shù)，即多元高次方程組的建立和求解方法．秦九韶的高次方程數(shù)值解法和李冶的天元術(shù)都被包含在內(nèi)．

在宋元時期的數(shù)學群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意義．如果把諸多數(shù)學家比作群山，則朱世杰是最高大、最雄偉的山峰．站在朱世杰數(shù)學思想的高度俯嫩傳統(tǒng)數(shù)學，會有"一覽眾山小"之感．來世杰工作的意義就在于總結(jié)了宋元數(shù)學，使之在理論上達到新的高度．這主要表現(xiàn)在以下三個領(lǐng)域．首先是方程理論．在列方程方面，蔣周的演段法為天元術(shù)作了準備工作，他已具有尋找等值多項式的思想，洞淵馬與信道是天元術(shù)的先驅(qū)，但他們推導(dǎo)方程仍受幾何思維的束縛，李冶基本上擺脫了這種束縛，總結(jié)出一套固定的天元術(shù)程序，使天元術(shù)進入成熟階段．在解方程方面，賈憲給出增乘開方法，劉益則用正負開方術(shù)求出四次方程正根，秦九韶在此基礎(chǔ)上解決了高次方程的數(shù)值解法問題．至此，一元高次方程的建立和求解都已實現(xiàn)．而線性方程組古已有之，所以具備了多元高次方程組產(chǎn)生的條件．李德載的二元術(shù)和劉大鑒的三元術(shù)相繼出現(xiàn)，朱世杰的四元術(shù)正是對二元術(shù)、三元術(shù)的總結(jié)與提高．由于四元已把常數(shù)項的上下左右占滿，方程理論發(fā)展到這里，顯然就告一段落了．從方程種類看，天元術(shù)產(chǎn)生之前的方程都是整式方程。

從洞淵到李冶，分式方程逐漸得到發(fā)展．而朱世杰，則突破了有理式的限制，開始處理無理方程．其次是高階等差級數(shù)的研究．沈括的隙積術(shù)開研究高階等差級數(shù)之先河，楊輝給出包括隙積術(shù)在內(nèi)的一系列二階等差級數(shù)求和公式．朱世杰則在此基礎(chǔ)上依次研究了二階、三階、四階乃至五階等差級數(shù)的求和問題，從而發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，掌握了三角垛統(tǒng)一公式．他還發(fā)現(xiàn)了垛積術(shù)與內(nèi)插法的內(nèi)在聯(lián)系，利用垛積公式給出規(guī)范的四次內(nèi)插公式．第三是幾何學的研究．宋代以前，幾何研究離不開勾股和面積、體積．蔣周的《益古集》也是以面積問題為研究對象的．李冶開始注意到圓城因式中各元素的關(guān)系，得到一些定理，但未能推廣到更一般的情形．朱世杰不僅總結(jié)了前人的勾股及求積理論，而且在李冶思想的基礎(chǔ)上更進一步，深入研究了勾股形內(nèi)及圓內(nèi)各幾何元素的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了兩個重要定理--射影定理和弦冪定理．他在立體幾何中也開始注意到圖形內(nèi)各元素的關(guān)系．朱世杰的工作，使得幾何研究的對象由圖形整體深入到圖形內(nèi)部，體現(xiàn)了數(shù)學思想的進步。

相關(guān)著述

朱世杰長期從事數(shù)學研究和教育事業(yè)，以數(shù)學名家周游各地20多年，四方登門來學習的人很多。朱世杰數(shù)學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。《算學啟蒙》是一部通俗數(shù)學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學的發(fā)展?！端脑耔b》則是中國宋元數(shù)學高峰的又一個標志，其中最杰出的數(shù)學創(chuàng)作有“四元術(shù)”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（高階等差數(shù)列求和）與“招差術(shù)”（高次內(nèi)插法）。

朱世杰在數(shù)學科學上，全面地繼承了秦九韶、李冶、楊輝的數(shù)學成就，并給予創(chuàng)造性的發(fā)展，寫出了《算學啟蒙》、《四元玉鑒》等著名作品，把我國古代數(shù)學推向更高的境界，形成宋元時期中國數(shù)學的最高峰?！端銓W啟蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（1299）刊印的，全書共三卷，20門，總計259個問題和相應(yīng)的解答。這部書從乘除運算起，一直講到當時數(shù)學發(fā)展的最高成就“天元術(shù)”，全面介紹了當時數(shù)學所包含的各方面內(nèi)容。

它的體系完整，內(nèi)容深入淺出，通俗易懂，是一部很著名的啟蒙讀物。這部著作后來流傳到朝鮮、日本等國，出版過翻刻本和注釋本，產(chǎn)生過一定的影響。而《四元玉鑒》更是一部成就輝煌的數(shù)學名著。它受到近代數(shù)學史研究者的高度評價，認為是中國古代數(shù)學科學著作中最重要的、最有貢獻的一部數(shù)學名著。《四元玉鑒》成書于大德七年（1303），共三卷，24門，288問，介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法——四元術(shù)，以及高階等差級數(shù)的計算——垛積術(shù)、招差術(shù)等方面的研究和成果。

“天元術(shù)”是設(shè)“天元為某某”，即某某為x。但當未知數(shù)不止一個的時候，除設(shè)未知數(shù)天元（x）外，還需設(shè)地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次聯(lián)方程組，然后求解。這在歐洲，解聯(lián)立一次方程開始于16世紀，關(guān)于多元高次聯(lián)立方程的研究還是18至19世紀的事了。朱世杰的另一重大貢獻是對于“垛積術(shù)”的研究。他對于一系列新的垛形的級數(shù)求和問題作了研究，從中歸納為“三角垛”的公式，實際上得到了這一類任意高階等差級數(shù)求和問題的系統(tǒng)、普遍的解法。朱世杰還把三角垛公式引用到“招差術(shù)”中，指出招差公式中的系數(shù)恰好依次是各三角垛的積，這樣就得到了包含有四次差的招差公式。

他還把這個招差公式推廣為包含任意高次差的招差公式，這在世界數(shù)學史上是第一次，比歐洲牛頓的同樣成就要早近4個世紀。正因為如此，朱世杰和他的著作《四元玉鑒》才享有巨大的國際聲譽。近代日本、法國、美國、比利時以及亞、歐、美許多國家都有人向本國介紹《四元玉鑒》。美國已故的著名的科學史家薩頓是這樣評說朱世杰的：“（朱世杰）是中華民族的、他所生活的時代的、同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學科學家?！薄啊端脑耔b》是中國數(shù)學著作中最重要的，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一。它是世界數(shù)學寶庫中不可多得的瑰寶。”從此中可以看出，宋元時期的科學家及其著作，在世界數(shù)學史上起到了不可估量的作用。

貢獻影響

朱世杰的主要貢獻是創(chuàng)造了一套完整的消未知數(shù)方法，稱為四元消法．這種方法在世界上長期處于領(lǐng)先地位，直到18世紀，法國數(shù)學家貝祖(Bezout)提出一般的高次方程組解法，才超過朱世杰。除了四元術(shù)以外，《四元玉鑒》中還有兩項重要成就，即創(chuàng)立了一般的高階等差級數(shù)求和公式及等間距四次內(nèi)插法公式，后者通常稱為招差術(shù)．此書代表著宋元數(shù)學的最高水平，美國科學史家薩頓(G．Sarton)稱贊它“是中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是中世紀的杰出數(shù)學著作之一”。朱世杰處于中國傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)展的鼎盛時期，當時社會上“尊崇算學，科目漸興”，數(shù)學著作廣為傳播。

對多元高次方程組解法、高階等差級數(shù)求和，高次內(nèi)插法都有深入研究，他著有《算學啟蒙》(1299年)、《四元玉鑒》(1303年)各3卷，在后者中討論了多達四元的高次聯(lián)立方程組解法，聯(lián)系在一起的多項式的表達和運算以及消去法，已接近近世代數(shù)學，處于世界領(lǐng)先地位，他通曉高次招差法公式，比西方早四百年，中外數(shù)學史家都高度評價朱世杰和他的名著《四元玉鑒》。

從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學家的又一項杰出的創(chuàng)造。留傳至今，并對這一杰出創(chuàng)造進行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》?！端脑耔b》成書于1303年。全書共3卷，24門，288問，主要論述高次方程組的解法（這也是朱世杰的最大貢獻）、高階等差級數(shù)求和以及高次內(nèi)插法等內(nèi)容。是流傳至今且對四元術(shù)進行系統(tǒng)論述的重要代表作。

在天元術(shù)的基礎(chǔ)上，朱世杰建立了“四元高次方程理論”，他把常數(shù)項放在中央（即“太”），然后“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”，“天、地、人、物”這四“元”代表未知數(shù)，(即相當于如今的x、y、z、w，)四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其它各項放在四個象限中。如果用現(xiàn)代的x、y、z、w表示天、地、人、物，那我們可以把朱世杰列高次多元方程的方法表示：而上面的兩個圖形“四元一次籌式”與“四元二次籌式”所表示的方程分別為：x+y+z+w=0

用上述方法列出四元高次方程后，再聯(lián)立方程組進行解方程組，方法是用消元方法解答,先擇一元為未知數(shù)，其它元組成的多項式作為這未知數(shù)的系數(shù)，然后把四元四式消去一元，變成三元三式，再消去一元變二元二式，再消去一元，就得到只含一元的天元開方式，然后用增乘開方法求得正根。這是線性方法組解法的重大發(fā)展，在西方，較有系統(tǒng)地研究多元方程組要等到16世紀。高階等差級數(shù)求和與高次內(nèi)插法也是《四元玉鑒》的重要內(nèi)容。由許多求和問題中的一系列三角垛公式可歸納得公式。朱世杰給出了上式中當p=1，2，……6時的公式。此外，還有其它高階等差級數(shù)求和公式。在招差法方面，朱世杰相當于給出了招差公式，這比西方要早400多年。

美國著名的科學史家薩頓評論說：“朱世杰是他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學家”，《四元玉鑒》是“中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是整個中世紀最杰出的數(shù)學著作之一。”朱世杰不僅是一名杰出的數(shù)學家，他還是一位數(shù)學教育家，曾周游四方各地，教授生徒20余年。并親自編著數(shù)學入門書，稱為《算學啟蒙》。在《算學啟蒙》卷下中，朱世杰提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術(shù)》的不足。

人物評價

“燕山朱松庭先生”，是元朝時代的一位杰出的數(shù)學家。所寫的《四元玉鑒》和《算學啟蒙》，是中國古代數(shù)學發(fā)展進程中的一個重要的里程碑，是中國古代數(shù)學的一份寶貴的遺產(chǎn)。13世紀中葉，朱世杰除了接受北方的數(shù)學成就之外，他也吸收了南方的數(shù)學成就，尤其是各種日用算法、商用算術(shù)和通俗化的歌訣等等。

朱世杰曾“周游四方”，莫若（古代數(shù)學家）序中有“燕山松庭朱先生以數(shù)學名家周游湖海二十余年矣。四方之來學者日眾，先生遂發(fā)明《九章》之妙，以淑后圖學，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中亦有“漢卿名世杰，松庭其自號也。周流四方，復(fù)游廣陵，踵門而學者云集”。經(jīng)過長期的游學、講學等活動，終于在1299年和1303年，在揚州，刊刻了他的兩部數(shù)學杰作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。楊輝書中的歸除歌訣在朱世杰所著《算學啟蒙》中有了進一步的發(fā)展。

清羅士琳認為：“漢卿在宋元間，與秦道古（即秦九韶）、李仁卿可稱鼎足而三。道古正負開方，漢卿天元如積皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦、李之上”。清代數(shù)學家王鑒也說：“朱松庭先生兼秦、李之所長，成一家之著作”。朱世杰全面繼承了并創(chuàng)造性地發(fā)揚了天元術(shù)、正負開方法等秦、李書中所載的數(shù)學成就之外，還囊括了楊輝書中的日用、商用、歸除歌訣之類與當時社會生活密切相關(guān)的各種算法，并作了新的發(fā)展。