把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍（如實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項(xiàng)均為實(shí)數(shù)）化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

基本概念

定義

把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，在數(shù)學(xué)求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應(yīng)用，是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。

因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)。學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所需的，而且對(duì)于培養(yǎng)解題技能、發(fā)展思維能力都有著十分獨(dú)特的作用。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)整式的四則運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、思維發(fā)展性、運(yùn)算能力，又可以提高綜合分析和解決問(wèn)題的能力。

相關(guān)結(jié)論

基本結(jié)論：分解因式為整式乘法的逆過(guò)程。

高級(jí)結(jié)論：在高等代數(shù)上，因式分解有一些重要結(jié)論，在初等代數(shù)層面上證明很困難，但是理解很容易。

（1）因式分解與解高次方程有密切的關(guān)系。對(duì)于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對(duì)固定和容易的方法。在數(shù)學(xué)上可以證明，對(duì)于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因?yàn)楣竭^(guò)于復(fù)雜，在非專業(yè)領(lǐng)域沒(méi)有介紹。對(duì)于分解因式，三次多項(xiàng)式和四次多項(xiàng)式也有固定的分解方法，只是比較復(fù)雜。對(duì)于五次以上的一般多項(xiàng)式，已經(jīng)證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒(méi)有固定解法。

（2）所有的三次和三次以上的一元多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)都可以因式分解。這看起來(lái)或許有點(diǎn)不可思議。比如x? 1，這是一個(gè)一元四次多項(xiàng)式，看起來(lái)似乎不能因式分解。但是它的次數(shù)高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系數(shù)法將其分解，只是分解出來(lái)的式子并不整潔。（這是因?yàn)?，由代?shù)基本定理可知n次一元多項(xiàng)式總是有n個(gè)根，也就是說(shuō)，n次一元多項(xiàng)式總是可以分解為n個(gè)一次因式的乘積。并且還有一條定理：實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的虛數(shù)根兩兩共軛的，將每對(duì)共軛的虛數(shù)根對(duì)應(yīng)的一次因式相乘，可以得到二次的實(shí)系數(shù)因式，從而這條結(jié)論也就成立了。）

（3）因式分解雖然沒(méi)有固定方法，但是求兩個(gè)多項(xiàng)式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時(shí)候就是用來(lái)提公因式的。尋找公因式可以用輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)求得。標(biāo)準(zhǔn)的輾轉(zhuǎn)相除技能對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)難度頗高，但是中學(xué)有時(shí)候要處理的多項(xiàng)式次數(shù)并不太高，所以反復(fù)利用多項(xiàng)式的除法也可以但比較笨，不過(guò)能有效地解決找公因式的問(wèn)題。

（4）因式分解是很困難的，初中所接觸的只是因式分解很簡(jiǎn)單的一部分。

分解一般步驟

1、如果多項(xiàng)式的首項(xiàng)為負(fù)，應(yīng)先提取負(fù)號(hào)；

這里的“負(fù)”，指“負(fù)號(hào)”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。

2、如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；

要注意：多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后，括號(hào)內(nèi)切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，并使每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。

3、如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解；

4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來(lái)分解。

口訣：先提首項(xiàng)負(fù)號(hào)，再看有無(wú)公因式，后看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。

原則

1、分解因式是多項(xiàng)式的恒等變形，要求等式左邊必須是多項(xiàng)式。

2、分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示。

3、每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來(lái)多項(xiàng)式的次數(shù)。

4、結(jié)果最后只留下小括號(hào)，分解因式必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止；

5、結(jié)果的多項(xiàng)式首項(xiàng)一般為正。在一個(gè)公式內(nèi)把其公因子抽出，即透過(guò)公式重組，然后再抽出公因子；

6、括號(hào)內(nèi)的首項(xiàng)系數(shù)一般為正；

7、如有單項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘，應(yīng)把單項(xiàng)式提到多項(xiàng)式前。如(b c)a要寫成a(b c)；

8、考試時(shí)在沒(méi)有說(shuō)明化到實(shí)數(shù)時(shí)，一般只化到有理數(shù)就夠了，有說(shuō)明實(shí)數(shù)的話，一般就要化到實(shí)數(shù)。

口訣：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)提出莫漏1，括號(hào)里面分到“底”。

分解方法

因式分解主要有十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式，輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余式定理法等方法，求根公因式分解沒(méi)有普遍適用的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法式法，換元法，長(zhǎng)除法，短除法，除法等。

提公因式法

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。公因式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

具體方法：在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。當(dāng)各項(xiàng)的系數(shù)有分?jǐn)?shù)時(shí)，公因式系數(shù)為各分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)為負(fù)，要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出負(fù)號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。

基本步驟：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并確定另一個(gè)因式；

①找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；

②提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；

③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。

公式法

如果把乘法公式的等號(hào)兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來(lái)把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。

分解公式：

1、平方差公式：

即兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。

2、完全平方公式：

即兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。

注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或式）的積的2倍。

口訣：首平方，尾平方，積的二倍放中央。同號(hào)加、異號(hào)減，符號(hào)添在異號(hào)前。

推廣：

(1)即三數(shù)和的平方，等于這三個(gè)數(shù)的平方和加上每?jī)身?xiàng)的積的2倍。

(2)即四數(shù)和的平方，等于這四個(gè)數(shù)的平方和加上每?jī)蓴?shù)的積的2倍。

即幾個(gè)數(shù)的和的平方，等于這幾個(gè)數(shù)的平方和加上每?jī)蓴?shù)的積的2倍。

3、立方和公式：

即兩數(shù)之和，乘它們的平方和與它們的積的差，等于這兩個(gè)數(shù)的立方和。

推廣：三項(xiàng)立方和公式：

即三數(shù)之和，乘它們的平方和與它們兩兩的積的差，等于這三個(gè)數(shù)的立方和減三數(shù)之積的三倍

變形：

4、立方差公式：

即兩數(shù)之差，乘它們的平方和與它們的積的和，等于這兩個(gè)數(shù)的立方差。

變形：

5、完全立方公式：

即兩數(shù)之和（差）的立方等于這兩個(gè)數(shù)的立方和（差）與每一個(gè)數(shù)的平方乘以另一個(gè)數(shù)3倍的和（和與差）。

十字相乘法

對(duì)于型的式子如果能分解為數(shù)的積，且有時(shí)（即a與b和是一次項(xiàng)的系數(shù)），那么；或?qū)τ谛偷氖阶尤绻?，，且有時(shí)，那么。這種分解因式的方法叫做十字相乘法。

注：與十字相乘法對(duì)應(yīng)的還有雙十字相乘法

具體方法：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)。

口訣：分二次項(xiàng)，分常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘求和得一次項(xiàng)。（拆兩頭，湊中間）

特點(diǎn)：

(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1；

(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；

(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。

基本步驟：

(1)把二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別分解因數(shù)；

(2)嘗試十字圖，使經(jīng)過(guò)十字交叉線相乘后所得的數(shù)的和為一次項(xiàng)系數(shù)；

(3)確定合適的十字圖并寫出因式分解的結(jié)果；

(4)檢驗(yàn)。

雙十字相乘法

對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式（x、y為未知數(shù)，其余都是常數(shù)），用兩次十字相乘法分解因式，這種分解因式的方法叫做雙十字相乘法。

步驟：

(1)用十字相乘法分解二次項(xiàng)（），得到一個(gè)十字相乘圖（有兩列）；

(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx．

(3)先以一個(gè)字母的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)；

(4)再按另一個(gè)字母的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)；

(5)橫向相加，縱向相乘。

例：分解因式：x2 5xy 6y2 8x 18y 12．

解析：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。

解:

x2y2

x3y6

∴原式=(x 2y 2)(x 3y 6)

輪換對(duì)稱法

當(dāng)題目為一個(gè)輪換對(duì)稱式時(shí)，可用輪換對(duì)稱法進(jìn)行分解。

步驟：

（1）試根

把下列5個(gè)等式分別帶入原式，找出令原式等于0的那個(gè)等式。

1、x=0

2、x=y

3、x=-y

4、x=y z

5、x=-y-z

（2）輪換

1、若x=0使原式=0 原式必有因式xyz

2、若x=y使原式=0 原式必有因式（x-y）（y-z）（z-x）

3、若x=-y使原式=0 原式必有因式（x y）（y z）（z x）

4、若x=y z使原式=0 原式必有因式（x-y-z）（y-z-x）（z-x-y）

5、若x=-y-z使原式=0 原式必有因式（x y z）

（3）對(duì)比次數(shù)

用原式的次數(shù)減去必有因式的次數(shù)，然后再乘上差的次數(shù)的對(duì)應(yīng)的式子。（差幾次添幾次）

須添上的輪換對(duì)稱式：

1次：x y z

2次：x2 y2 z2、xy yz zx

3次：x3 y3 z3、x2y y2z z2x、xy2 yz2 zx2、xyz

（4）根據(jù)次數(shù)待定系數(shù)

在需要乘上的式子前加上字母，待定系數(shù)。

（5）算出待定的系數(shù)

用特值法及恒等式性質(zhì)算出待定的系數(shù)。

（6）得出答案

進(jìn)行檢驗(yàn)，寫出答案。

例：分解因式：x2（y-z）3 y2（z-x）3 z2（x-y）3

解：x=y 原式=0

必有因式（x-y）（y-z）（z-x）

原式為五次式，（x-y）（y-z）（z-x）為三次式，則需要補(bǔ)上二次式

設(shè)補(bǔ)上a（x2 y2 z2） b（xy yz zx）

原式=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x2 y2 z2） b（xy yz zx）]

特值法：

令x=1 y=2 z=3

x2（y-z）3 y2（z-x）3 z2（x-y）3=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x2 y2 z2） b（xy yz zx）]

-1 32-9=（-1）·（-1）·2·（14a 11b）

22=28a 22b

14a 11b=11

令x=3 y=2 z=4

x2（y-z）3 y2（z-x）3 z2（x-y）3=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x2 y2 z2） b（xy yz zx）]

-72 4 16=1·（-2）·1·（29a 26b）

-52=-58a-52b

29a 26b=26

解得a=0

b=1

原式=（x-y）（y-z）（z-x）（xy yz zx）

分組分解法

通過(guò)分組分解的方式來(lái)分解提公因式法和公式分解法無(wú)法直接分解的因式，這種分解因式的方法叫做分組分解法。能分組分解的多項(xiàng)式有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。

例1：因式分解ax ay bx by

解析：把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。

解：ax ay bx by

=a(x y) b(x y)

=(a b)(x y)

或

ax ay bx by

=x(a b) y(a b)

=(a b)(x y)

例2：因式分解5ax 5bx 3ay 3by

解析：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個(gè)整體，利用乘法分配律輕松解出。

解：5ax 5bx 3ay 3by

=5x(a b) 3y(a b)

=(5x 3y)(a b)

例3：因式分解x2-x-y2-y

解析：利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a b)(a-b)，然后相合解決。

解：x2-x-y2-y

=(x2-y2)-(x y)

=(x y)(x-y)-(x y)

=(x y)(x-y-1)

例4：因式分解a2-b2-2bc-c2

解：a2-b2-2bc-c2

=a2-(b c)2

=(a-b-c)(a b c)

拆添項(xiàng)法

把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解,這種分解因式的方法叫作拆添項(xiàng)法。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。

例：分解因式：x3-9x 8．

分析：本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧．

解法1：將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1 9．

原式=x3-9x-1 9

=(x3-1)-9x 9

=(x-1)(x2 x 1)-9(x-1)

=(x-1)(x2 x-8)

解法2將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x．

原式=x3-x-8x 8

=(x3-x) (-8x 8)

=x(x 1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2 x-8)

解法3將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3．

原式=9x3-8x3-9x 8

=(9x3-9x) (-8x3 8)

=9x(x 1)(x-1)-8(x-1)(x2 x 1)

=(x-1)(x2 x-8)

解法4 添加兩項(xiàng)-x2 x2．

原式=x3-9x 8

=x3-x2 x2-9x 8

=x2(x-1) (x-8)(x-1)

=(x-1)(x2 x-8)

配方法

對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種分解因式的方法叫做配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。

例：分解因式x2 3x-40

解：x2 3x-40

=x2 3x 2.25-42.25

=(x 1.5)2-(6.5)2

=(x 8)(x-5)．

主元法

在分解含多個(gè)字母的代數(shù)式時(shí)，選取其中一個(gè)字母為主元（未知數(shù)），將其它字母看成是常數(shù)，把代數(shù)式整理成關(guān)于主元的降冪排列（或升冪排列）的多項(xiàng)式，再嘗試用公式法、配方法、分組分解法等分解因式的方法進(jìn)行分解。這種分解因式的方法叫做主元法。

特殊值法

將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。這種分解因式的方法叫做特殊值法。

待定系數(shù)法

在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù)。由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法。