冪運算是一種關(guān)于冪的數(shù)學運算。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

教學內(nèi)容

同底數(shù)冪的乘法

冪的乘方與積的乘方

同底數(shù)冪的除法

技能要求

掌握正整數(shù)冪的運算性質(zhì)（同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法），能用字母式子和文字語言正確地表述這些性質(zhì)，并能運用它們熟練地進行運算。

主要數(shù)學能力

1．通過冪的運算到多項式乘法的學習，初步理解“特殊——一般——特殊”的認識規(guī)律，發(fā)展思維能力。

2．在學習冪的運算性質(zhì)、乘法法則的過程中，培養(yǎng)觀察、綜合、類比、歸納、抽象、概括等思維能力。

學習指導

1．同底數(shù)冪的乘法：

同底數(shù)冪的乘法法則是本章中的第一個冪的運算法則，也是整式乘法的主要依據(jù)之一。學習這個法則時應(yīng)注意以下五個問題：

（1）先弄清楚底數(shù)、指數(shù)、冪這三個基本概念的涵義。

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一個具體的數(shù)或字母，也可以是一個單項式或多項式，如：

(2x y)2·(2x y)3=(2x y)5，底數(shù)就是一個二項式(2x y)。

（3）指數(shù)都是正整數(shù)

（4）這個法則可以推廣到三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘，即am·an·ap....=am n p ... (m, n, p都是正整數(shù))。

（5）不要與整式加法相混淆。乘法是只要求底數(shù)相同則可用法則計算，即底數(shù)不變指數(shù)相加，而加法法則要求兩個相同；底數(shù)相同且指數(shù)也必須相同，實際上是冪相同系數(shù)相加。

如-2x5 x5=(-2 1)x5=-x5，而x5 x4就不能合并。

例1．計算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5

解：(1) A×Α^2×A^3 分析：①(- )就是(- )1，指數(shù)為1

=A^（1 2 3） ②底數(shù)為- ，不變。

=A^6 ③指數(shù)相加1 2 3=6

= ④乘方時先定符號“ ”，再計算 的6次冪

解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5 分析：①-a4與(-a)3不是同底數(shù)冪=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4變?yōu)橥讛?shù)冪

=-a（4 3 5）

=-(-a)12

②本題也可作如下處理：

-a4·(-a)3·(-a)5

-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)

=-a12 =-(a4·a3·a5)=-a12

例2．計算(1) (x-y)^3(y-x)(y-x)^6

解：(x-y)^3(y-x)(y-x)6 分析：(x-y)3與(y-x)不是同底數(shù)冪

=-(x-y)^3(y-x)(y-x)6 可利用y-x=-(x-y)， (y-x)6=(x-y)6

=-(x-y)（3 1 6 ）變?yōu)?x-y)為底的同底數(shù)冪，再進行

=-(x-y)10計算。

例3．計算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4解：x^5·x^n-3·x^4-3x^2·x^n·x^4 分析：①先做乘法再做減法

=x（5 n-3 4）-3x（2 n 4 ）②運算結(jié)果指數(shù)能合并的要合并

=x（6 n）-3x（6 n） ③3x2即為3·(x2)

=(1-3)x6 n ④x 6 n，與-3x6 n是同類項

=-2x 6 n合并時將系數(shù)進行運算(1-3)=-2

底數(shù)和指數(shù)不變。

2．冪的乘方(a^m)^n=a^(mn)，與積的乘方(ab)^n=a^nb^n

(1)冪的乘方，(a^m)^n=a^(mn)，(m, n都為正整數(shù))運用法則時注意以下以幾點：

①冪的底數(shù)a可以是具體的數(shù)也可以是多項式。如[(x y)2]3的底數(shù)為(x y)，是一個多項式

[(x y)2]3=(x y)6

②要和同底數(shù)冪的乘法法則相區(qū)別，不要出現(xiàn)下面的錯誤。如：

(a3)4=a7； [(-a)3]4=(-a)7； a3·a4=a12

(2)積的乘方(ab)^n=a^nb^n，（n為正整數(shù)）運用法則時注意以下幾點：

①注意與前二個法則的區(qū)別：積的乘方等于將積的每個因式分別乘方（即轉(zhuǎn)化成若干個冪的乘方），再把所得的冪相乘。

②積的乘方可推廣到3個以上因式的積的乘方，如：(-3a2b)3如(a1·a2·…….an)m=a1m·a2m·…….anm

例4．計算：①(a2m)n②(am n)m ③(-x2yz3)3 ④-(ab)8

解：①(a2m)n分析：①先確定是冪的乘方運算

=a(2m)n ②用法則底數(shù)a 不變指數(shù)2m和n相乘

=a2mn

②a（m n)m分析：①底數(shù)a不變，指數(shù)(m n)與m相乘

=a（m n)m

= ②運用乘法分配律進行指數(shù)運算。

③(-x2yz3)3 分析：①底數(shù)有四個因式：(-1), x2, y, z3

=(-1)3(x2)3y3(z3)3分別3次方

=-x6y3z9 ②注意(-1)3=-1, (x2)3=x（2×3） =x6

④-(ab)8 分析：①8次冪的底數(shù)是ab。

=-(a8b8) ②“-”在括號的外邊先計算(ab)8

=-a8b8再在結(jié)果前面加上“-”號。

例5．當ab= ，m=5, n=3, 求(ambm)n的值。

解：∵(ambm)n 分析：①對(ab)n=anbn會從右向左進行逆=[(ab)m]n 運算 ambm=(ab)m

=(ab)mn②將原式的底數(shù)轉(zhuǎn)化為ab，才可將ab

∴ 當m=5, n=3時， 代換成 。

∴ 原式=( )5×3( )15應(yīng)將 括起來不能寫成 15。

=( )15

例6．若a3b2=15，求-5a6b4的值。

解：-5a6b4 分析：a6b4=(a3b2)2

=-5（a3b2）2 應(yīng)用(ab)nanbn

=-5(15)2

=-1125

例7．如果3m 2n=6，求8m·4n的值。

解：8m·4n 分析：①8m=(23)m=23m

=(23)m·(22)n4n=(22)n=22n=23m·22n ②式子中出現(xiàn)3m 2n可用6

=23m 2n 來代換

=26=64

3. 同底數(shù)冪的除法：

（1）同底數(shù)冪的除法：am÷an=a（m-n） (a≠0, m, n均為正整數(shù)，并且m>n)

①同底數(shù)冪的除法是整式除法的基礎(chǔ)，要熟練掌握。同底數(shù)冪的除法法則是根據(jù)除法是乘法的逆運算歸納總結(jié)出來的，和前面講的冪的運算的三個法則相比，在這里底數(shù)a是不能為零的，否則除數(shù)為零，除法就沒有意義了。又因為在這里沒有引入負指數(shù)和零指數(shù)，所以又規(guī)定m>n。能從特殊到一般地歸納出同底數(shù)冪的除法法則。

②同底數(shù)冪的兩個冪相除，如果被除式的指數(shù)與除式的指數(shù)相等，那么商等于1，即am÷an=1,m是任意自然數(shù)。a≠0, 即轉(zhuǎn)化成a0=1(a≠0)。

③同底數(shù)冪的兩個冪相除，如果被除式的指數(shù)小于除式的指數(shù)，即m-n<0時，指數(shù)部分為負整數(shù)則轉(zhuǎn)化成負整數(shù)指數(shù)冪，再用負整數(shù)指數(shù)冪法則。

④要注意和其它幾個冪的運算法則相區(qū)別。

⑤還應(yīng)強調(diào)：am·an=am n與am n÷an=am的互逆運算關(guān)系，同時指數(shù)的變化也是互逆運算關(guān)系，應(yīng)溝通兩者的聯(lián)系。

（2）零指數(shù)：a0=1 (a≠0)

①條件是a≠0，00無意義。

②它是由am÷an=am-n當a≠0，m=n時轉(zhuǎn)化而來的。也就是說當同底數(shù)冪相除時，被除式指數(shù)與除式的指數(shù)相等時即轉(zhuǎn)化成零指數(shù)冪，它的結(jié)果為1。

（3）負整數(shù)指數(shù)冪：a-p= (a≠0, p是正整數(shù)）①當a=0時沒有意義，0-2, 0-3都無意義。

②它是由am÷an=am-n當a≠0, m<n時轉(zhuǎn)化而來的。也就是說當同底數(shù)冪相除時，被除式指數(shù)小于除式指數(shù)時即轉(zhuǎn)化成負指數(shù)冪。a-p結(jié)果為ap的倒數(shù)，也就是說一個不為零的數(shù)的負整數(shù)指數(shù)冪等于這個數(shù)正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)，也可以等于這個數(shù)倒數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪，即a-p=( )p (a≠0,p為自然數(shù)）

法則口訣

同底數(shù)冪的乘法：底數(shù)不變，指數(shù)相加冪的乘方；

同底數(shù)冪的除法：底數(shù)不變，指數(shù)相減冪的乘方；

冪的指數(shù)乘方：等于各因數(shù)分別乘方的積商的乘方

分式乘方：分子分母分別乘方，指數(shù)不變。