一元一次方程指只含有一個未知數（元），這樣的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程只有一個根。一元一次方程可以解決絕大多數的工程問題、行程問題、分配問題、盈虧問題、積分表問題、電話計費問題、數字問題。

一元一次方程最早見于約公元前1600年的古埃及時期。公元820年左右，數學家花拉子米在《對消與還原》一書中提出了“合并同類項”、“移項”的一元一次方程思想。16世紀，數學家韋達創(chuàng)立符號代數之后，提出了方程的移項與同除命題。1859年，數學家李善蘭正式將這類等式譯為一元一次方程。

基本概述

只含有一個未知數（即“元”），并且未知數的最高次數為1（即“次”）的整式方程（左右兩邊的式子要用“=”連接）叫做一元一次方程（英文名：linear equation with one unknown）。一元一次方程的標準形式（即所有一元一次方程經整理都能得到的形式）是ax b=0（a，b為常數，x為未知數，且a≠0）。求根公式：x=-b/a。

一元一次方程的特點：

（1）為一個等式

（2）該方程為整式方程。

（3）該方程有且只含有一個未知數。

（4）該方程中未知數的最高次數是1。（系數化為1）

（5）未知數系數不為0.

滿足以上五點的方程，就是一元一次方程。

要判斷一個方程是否為一元一次方程，先看它是否為整式方程。若是，再對它進行整理。如果能整理為 ax b=0（a≠0，a是ax的系數，a與b均為常數）的形式，則這個方程就為一元一次方程。里面要有等號，且分母里不含未知數。

  變形公式

ax=b（a，b為常數，x為未知數，且a≠0）

表示方法

（1）一般形式：ax b=0（a，b為常數，a≠0）

（2）最簡形式：ax=b（a，b為常數，a≠0）

補充

（1）等式的性質1：在等式左右兩邊同時加或減同一個數，等式成立

式子表示：a=b→a±c=b±c

（2）等式的性質2：等式兩邊同時乘或除不為0的數，等式成立

式子表示   a=b→ac=bc

a=b→a/c=b/c（c≠0）

方程定義

含有未知數的等式叫做方程，而且只含有一個未知數，未知數不為0;并且未知數的最高次數為1的整式方程叫做一元一次方程。

標準形式

一元一次方程的標準形式，即所有一元一次方程經整理都能得到

2a＋3＝17

2a＝17﹣3

2a＝14

a＝14÷2

a＝7

方程特點

（1）該方程為整式方程。

（2）該方程有且只含有一個未知數。

（3）該方程中未知數的最高次數是1。（系數化為1）

（4）未知數系數不能為0。

（5）該方程為等式。

判斷方法

要判斷一個方程是否為一元一次方程，①先看它是否為整式方程。若是，②。如果能整理為ax b=0（a≠0）的形式，則這個方程就為一元一次方程。里面要有等號，且分母里不含未知數。

變形公式

ax=b（a，b為常數，x為未知數，且a≠0）

求根公式通常解法

去分母→去括號→移項→合并同類項→系數化為1。

兩種類型

（1）總量等于各分量之和。將未知數放在等號左邊，常數放在右邊。如：x 2x 3x=6。

（2）等式兩邊都含未知數。如：300x 400=400x，40x 20=60x。

方程舉例

2a=8a-4

4b=-2

x=2

都是一元一次方程。

方程起源

“方程”一詞來源于中國古算術書《九章算術》。在這本著作中，已經列出了一元一次方程。法國數學家笛卡爾把未知數和常數通過代數運算所組成的方程稱為代數方程。在19世紀以前，方程一直是代數的核心內容。

主要用途

一元一次方程通?？捎糜谧鰬妙}，如工程問題、行程問題、分配問題、盈虧問題、球賽積分表問題、電話（水表、電表）計費問題、數字問題等。

解決步驟

一、去分母

在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數（不含分母的項也要乘）；

依據：等式的性質2

二、去括號

一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號，可根據乘法分配律（記住如括號外有減號或除號的話一定要變號）

依據：乘法分配律（注意沒有除法分配律）

三、移項

把方程中含有未知數的項都移到方程的一邊（一般是含有未知數的項移到方程左邊，而把常數項移到右邊）

依據：等式的性質1

四、合并同類項

把方程化成ax=b（a≠0）的形式；

依據：乘法分配律（逆用乘法分配律）

五、系數化為1

在方程兩邊都除以未知數的系數a，得到方程的解x=b/a。

依據：等式的性質2

列方程解應用題的步驟

(1)審題，弄清題意．即全面分析已知數與已知數、已知數與未知數的關系．特別要把牽涉到的一些概念術語弄清，如同向，相向，增加到，增加了等.

(2)引進未知數．用x表示所求的數量或有關的未知量．在小學階段所遇到的應用題并不十分復雜，一般只需要直接把要求的數量設為未知數．

(3)找出應用題中數量間的相等關系，列出方程．

(4)解方程，找出未知數的值．

(5)檢驗并寫出答案．檢驗時，一是要將所求得的未知數的值代入原方程，檢驗方程的解是否正確；二是檢查所求得的未知數的值是否符合題意，不符合題意的要舍去，保留符合題意的解．

解方程口訣

去分母，去括號，移項時，要變號，同類項，合并好，再把系數來除掉。

同解方程

如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程。

同解原理

（1）方程的兩邊都加或減同一個數或同一個等式所得的方程與原方程是同解方程。

（2）方程的兩邊同乘或同除同一個不為0的數所得的方程與原方程是同解方程。

求根公式：

由于一元一次方程是基本方程，故教科書上的解法只有上述的方法。

但對于標準形式下的一元一次方程：ax b=0(a≠0)。

可得出求根公式。

函數解法

由于一元一次函數都可以轉化為ax b=0（a，b為常量，a≠0）的形式，所以解一元一次方程就可以轉化為：

當某一個函數值為0時，求相應的自變量的值。從圖像上看，這就相當于求直線y=kx b（k，b為常量，k≠0）與x軸交點的橫坐標的值。

本段解法舉例

題目：已知ax=b是關于x的方程（a、b為常數），求x的值。

分析：要牢牢抓住一元一次方程的定義，進行分類討論。

解：當a≠0時。

當a=0，b=0時，方程有無數個解（注意：這種情況不屬于一元一次方程，而屬于恒等方程）

當a=0，b≠0時，方程無解（注意：此種情況也不屬于一元一次方程）

補充說明

（1）依據：等式的性質1

（2）把未知數相同且其次數也相同的項合并成一項；常數計算后合并成一項

（3）合并時次數不變，只是系數相加減。

移項

（1）依據：等式的性質2

（2）含有未知數的項變號后都移到方程左邊，把不含未知數的項移到右邊。

（3）把方程一邊某項移到另一邊時，一定要變號（如：移項時將 改為-，×改為÷）。

等式性質

等式的性質一：等式兩邊同時加一個數或減去同一個數或同一個整式，等式仍然成立。

等式的性質二：等式兩邊同時乘或除以一個相同的數（0除外），等式仍然成立。

等式的性質三：等式兩邊同時乘方（或開方），等式仍然成立。

解方程都是依據等式的這三個性的。

解的定義：使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。