薛定諤方程（Schr?dinger equation），又稱薛定諤波動(dòng)方程（Schrodinger wave equation），是由奧地利物理學(xué)家薛定諤提出的量子力學(xué)中的一個(gè)基本方程，也是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定。

它是將物質(zhì)波的概念和波動(dòng)方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程，可描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)，每個(gè)微觀系統(tǒng)都有一個(gè)相應(yīng)的薛定諤方程式，通過(guò)解方程可得到波函數(shù)的具體形式以及對(duì)應(yīng)的能量，從而了解微觀系統(tǒng)的性質(zhì)。在量子力學(xué)中，粒子以概率的方式出現(xiàn)，具有不確定性，宏觀尺度下失效可忽略不計(jì)。

簡(jiǎn)介

薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程。是1926年奧地利理論物理學(xué)家薛定諤提出的。它描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律。微觀系統(tǒng)的狀態(tài)由波函數(shù)來(lái)描寫，薛定諤方程即是波函數(shù)的微分方程。若給定了初始條件和邊界的條件，就可由此方程解出波函數(shù)。

方程定義

薛定諤方程（Schrodinger equation）在量子力學(xué)中，體系的狀態(tài)不能用力學(xué)量（例如x）的值來(lái)確定，而是要用力學(xué)量的函數(shù)Ψ（x,t），即波函數(shù)（又稱概率幅，態(tài)函數(shù)）來(lái)確定，因此波函數(shù)成為量子力學(xué)研究的主要對(duì)象。力學(xué)量取值的概率分布如何，這個(gè)分布隨時(shí)間如何變化，這些問(wèn)題都可以通過(guò)求解波函數(shù)的薛定諤方程得到解答。這個(gè)方程是奧地利物理學(xué)家薛定諤于1926年提出的，它是量子力學(xué)最基本的方程之一，在量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng)，超弦理論試圖統(tǒng)一兩種理論。

薛定諤方程是量子力學(xué)最基本的方程，亦是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定，其正確性只能靠實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。

量子力學(xué)中求解粒子問(wèn)題常歸結(jié)為解薛定諤方程或定態(tài)薛定諤方程。薛定諤方程廣泛地用于原子物理、核物理和固體物理，對(duì)于原子、分子、核、固體等一系列問(wèn)題中求解的結(jié)果都與實(shí)際符合得很好。

薛定諤方程僅適用于速度不太大的非相對(duì)論粒子，其中也沒有包含關(guān)于粒子自旋的描述。當(dāng)涉及相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，薛定諤方程由相對(duì)論量子力學(xué)方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

.薛定諤提出的量子力學(xué)基本方程。建立于1926年。它是一個(gè)非相對(duì)論的波動(dòng)方程。它反映了描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，它在量子力學(xué)中的地位相當(dāng)于牛頓定律對(duì)于經(jīng)典力學(xué)一樣，是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。設(shè)描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)為Ψ（r，t），質(zhì)量為m的微觀粒子在勢(shì)場(chǎng)V（r，t）中運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程。在給定初始條件和邊界條件以及波函數(shù)所滿足的單值、有限、連續(xù)的條件下，可解出波函數(shù)Ψ（r，t）。由此可計(jì)算粒子的分布概率和任何可能實(shí)驗(yàn)的平均值（期望值）。當(dāng)勢(shì)函數(shù)V不依賴于時(shí)間t時(shí)，粒子具有確定的能量，粒子的狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)時(shí)的波函數(shù)可寫成式中Ψ（r）稱為定態(tài)波函數(shù)，滿足定態(tài)薛定諤方程，這一方程在數(shù)學(xué)上稱為本征方程，式中E為本征值，它是定態(tài)能量，Ψ（r）又稱為屬于本征值E的本征函數(shù)。

薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它揭示了微觀物理世界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，如牛頓定律在經(jīng)典力學(xué)中所起的作用一樣，它是原子物理學(xué)中處理一切非相對(duì)論問(wèn)題的有力工具，在原子、分子、固體物理、核物理、化學(xué)等領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用。

背景與發(fā)展

1900年，馬克斯·普朗克在研究黑體輻射中作出將電磁輻射能量量子化的假設(shè)，因此發(fā)現(xiàn)將能量與頻率關(guān)聯(lián)在一起的普朗克關(guān)系式。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦從對(duì)于光電效應(yīng)的研究又給予這關(guān)系式嶄新的詮釋：頻率為ν的光子擁有的能量為hν；其中，因子h是普朗克常數(shù)。這一點(diǎn)子成為后來(lái)波粒二象性概念的早期路標(biāo)之一。由于在狹義相對(duì)論里，能量與動(dòng)量的關(guān)聯(lián)方式類似頻率與波數(shù)的關(guān)聯(lián)方式，因此可以揣測(cè)，光子的動(dòng)量與波長(zhǎng)成反比，與波數(shù)成正比，以方程來(lái)表示這關(guān)系式。

路易·德布羅意認(rèn)為，不單光子遵守這關(guān)系式，所有粒子都遵守這關(guān)系式。他于1924年進(jìn)一步提出的德布羅意假說(shuō)表明，每一種微觀粒子都具有波動(dòng)性與粒子性，這性質(zhì)稱為波粒二象性。電子也不例外的具有這種性質(zhì)。電子是一種物質(zhì)波，稱為“電子波”。電子的能量與動(dòng)量分別決定了伴隨它的物質(zhì)波所具有的頻率與波數(shù)。在原子里，束縛電子形成駐波；這意味著他的旋轉(zhuǎn)頻率只能呈某些離散數(shù)值。這些量子化軌道對(duì)應(yīng)于離散能級(jí)。從這些點(diǎn)子，德布羅意復(fù)制出玻爾模型的能級(jí)。

在1925年，瑞士蘇黎世每?jī)芍軙?huì)舉辦一場(chǎng)物理學(xué)術(shù)研討會(huì)。有一次，主辦者彼得·德拜邀請(qǐng)薛定諤講述關(guān)于德布羅意的波粒二象性博士論文。那段時(shí)期，薛定諤正在研究氣體理論，他從閱讀愛因斯坦關(guān)于玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)的論述中，接觸德布羅意的博士論文，在這方面有很精深的理解。在研討會(huì)里，他將波粒二象性闡述的淋漓盡致，大家都聽的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波動(dòng)性，應(yīng)該有一種能夠正確描述這種量子性質(zhì)的波動(dòng)方程。他的意見給予薛定諤極大的啟發(fā)與鼓舞，他開始尋找這波動(dòng)方程。檢試此方程最簡(jiǎn)單與基本的方法就是，用此方程來(lái)描述氫原子內(nèi)部束縛電子的物理行為，而必能復(fù)制出玻爾模型的理論結(jié)果，另外，這方程還必須能解釋索末菲模型給出的精細(xì)結(jié)構(gòu)。

很快，薛定諤就通過(guò)德布羅意論文的相對(duì)論性理論，推導(dǎo)出一個(gè)相對(duì)論性波動(dòng)方程，他將這方程應(yīng)用于氫原子，計(jì)算出束縛電子的波函數(shù)。因?yàn)檠Χㄖ@沒有將電子的自旋納入考量，所以從這方程推導(dǎo)出的精細(xì)結(jié)構(gòu)公式不符合索末菲模型。他只好將這方程加以修改，除去相對(duì)論性部分，并用剩下的非相對(duì)論性方程來(lái)計(jì)算氫原子的譜線。解析這微分方程的工作相當(dāng)困難，在其好朋友數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾鼎力相助下，他復(fù)制出了與玻爾模型完全相同的答案。因此，他決定暫且不發(fā)表相對(duì)論性部分，只把非相對(duì)論性波動(dòng)方程與氫原子光譜分析結(jié)果，寫為一篇論文。1926年，他正式發(fā)表了這論文。

這篇論文迅速在量子學(xué)術(shù)界引起震撼。普朗克表示“他已閱讀完畢整篇論文，就像被一個(gè)迷語(yǔ)困惑多時(shí)，渴慕知道答案的孩童，現(xiàn)在終于聽到了解答”。愛因斯坦稱贊，這著作的靈感如同泉水般源自一位真正的天才。愛因斯坦覺得，薛定諤已做出決定性貢獻(xiàn)。由于薛定諤所創(chuàng)建的波動(dòng)力學(xué)涉及到眾所熟悉的波動(dòng)概念與數(shù)學(xué)，而不是矩陣力學(xué)中既抽象又陌生的矩陣代數(shù)，量子學(xué)者都很樂(lè)意地開始學(xué)習(xí)與應(yīng)用波動(dòng)力學(xué)。自旋的發(fā)現(xiàn)者喬治·烏倫貝克驚嘆，“薛定諤方程給我們帶來(lái)極大的解救！”沃爾夫?qū)づ堇J(rèn)為，這論文應(yīng)可算是最重要的著作之一。

薛定諤給出的薛定諤方程能夠正確地描述波函數(shù)的量子行為。在那時(shí)，物理學(xué)者尚不清楚如何詮釋波函數(shù)，薛定諤試圖以電荷密度來(lái)詮釋波函數(shù)的絕對(duì)值平方，可并不成功。1926年，玻恩提出概率幅的概念，成功地詮釋了波函數(shù)的物理意義。但是薛定諤與愛因斯坦觀點(diǎn)相同，都不贊同這種統(tǒng)計(jì)或概率方法，以及它所伴隨的非連續(xù)性波函數(shù)坍縮。愛因斯坦主張，量子力學(xué)是個(gè)決定性理論的統(tǒng)計(jì)近似。在薛定諤有生的最后一年，寫給玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根詮釋。

作者簡(jiǎn)介

埃爾溫·薛定諤（Erwin Schrodinger，1887年—1961年）1887年8月12日出生于奧地利首都維也納。1906年至1910年，他就學(xué)于維也納大學(xué)物理系。1910年獲得博士學(xué)位。畢業(yè)后，在維也納大學(xué)第二物理研究所從事實(shí)驗(yàn)物理的工作。第一次世界大戰(zhàn)期間，他應(yīng)征服役于一個(gè)偏僻的炮兵要塞，利用閑暇時(shí)間研究理論物理。

戰(zhàn)后他仍回到第二物理研究所。1920年他到耶拿大學(xué)協(xié)助維恩工作。1921年薛定諤受聘到瑞士的蘇黎世大學(xué)任數(shù)學(xué)物理教授，在那里工作了6年，薛定諤方程就是在這一期間提出的。1927年薛定諤接替普朗克到柏林大學(xué)擔(dān)任理論物理教授。1933年希特勒上臺(tái)后，薛定諤對(duì)于納粹政權(quán)迫害愛因斯坦等杰出科學(xué)家的法西斯行為深為憤慨，移居牛津，在馬達(dá)倫學(xué)院任訪問(wèn)教授。同年他與狄拉克共同獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

1936年他回到奧地利任格拉茨大學(xué)理論物理教授。不到兩年，奧地利被納粹并吞后，他又陷入了逆境。1939年10月流亡到愛爾蘭首府都柏林，就任都柏林高級(jí)研究所所長(zhǎng)，從事理論物理研究。在此期間還進(jìn)行了科學(xué)哲學(xué)、生物物理研究，頗有建樹。出版了《生命是什么》一書，試圖用量子物理闡明遺傳結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。1956年薛定諤回到了奧地利，被聘為維也納大學(xué)理論物理教授，奧地利政府給予他極大的榮譽(yù)，設(shè)定了以薛定諤命名的國(guó)家獎(jiǎng)金，由奧地利科學(xué)院授予。

具體介紹

數(shù)學(xué)形式

一維薛定諤方程

三維薛定諤方程

定態(tài)薛定諤方程

單粒子薛定諤方程的數(shù)學(xué)表達(dá)形式

這是一個(gè)二階線性偏微分方程，ψ(x，y，z)是待求函數(shù)，它是x,y,z三個(gè)變量的復(fù)數(shù)函數(shù)（就是說(shuō)函數(shù)值不一定是實(shí)數(shù)，也可能是虛數(shù)）。式子最左邊的倒三角是拉普拉斯算符，意思是分別對(duì)ψ(x，y，z)的梯度求散度。

物理含義

這是一個(gè)描述一個(gè)粒子在三維勢(shì)場(chǎng)中的定態(tài)薛定諤方程。所謂勢(shì)場(chǎng)，就是粒子在其中會(huì)有勢(shì)能的場(chǎng)，比如電場(chǎng)就是一個(gè)帶電粒子的勢(shì)場(chǎng)；所謂定態(tài)，就是假設(shè)波函數(shù)不隨時(shí)間變化。其中，E是粒子本身的能量；U（x，y，z）是描述勢(shì)場(chǎng)的函數(shù)，假設(shè)不隨時(shí)間變化。薛定諤方程有一個(gè)很好的性質(zhì)，就是時(shí)間和空間部分是相互分立的，求出定態(tài)波函數(shù)的空間部分后再乘上時(shí)間部分以后就成了完整的波函數(shù)了。

薛定諤方程的解——波函數(shù)的性質(zhì)

簡(jiǎn)單系統(tǒng)，如氫原子中電子的薛定諤方程才能求解，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)必須近似求解。因?yàn)閷?duì)于有Z個(gè)電子的原子，其電子由于屏蔽效應(yīng)相互作用勢(shì)能會(huì)發(fā)生改變，所以只能近似求解。近似求解的方法主要有變分法和微擾法。

在束縛態(tài)邊界條件下并不是E值對(duì)應(yīng)的所有解在物理上都是可以接受的。主量子數(shù)、角量子數(shù)、磁量子數(shù)都是薛定諤方程的解。要完整描述電子狀態(tài)，必須要四個(gè)量子數(shù)。自旋磁量子數(shù)不是薛定諤方程的解，而是作為實(shí)驗(yàn)事實(shí)接受下來(lái)的。

主量子數(shù)n和能量有關(guān)的量子數(shù)。原子具有分立能級(jí)，能量只能取一系列值，每一個(gè)波函數(shù)都對(duì)應(yīng)相應(yīng)的能量。氫原子以及類氫原子的分立值為：

，n越大能量越高電子層離核越遠(yuǎn)。主量子數(shù)決定了電子出現(xiàn)的最大幾率的區(qū)域離核遠(yuǎn)近，決定了電子的能量。N=1，2，3，……；常用K、L、M、N……表示。

角量子數(shù)l和能量有關(guān)的量子數(shù)。電子在原子中具有確定的角動(dòng)量L，它的取值不是任意的，只能取一系列分立值，稱為角動(dòng)量量子化。。l越大，角動(dòng)量越大，能量越高，電子云的形狀也不同。l=0，1，2，……常用s，p，d，f，g表示，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是前面說(shuō)的電子亞層。角量子數(shù)決定了軌道形狀，所以也稱為軌道形狀量子數(shù)。s為球型，p為啞鈴型，d為花瓣，f軌道更為復(fù)雜。

磁量子數(shù)m是和電子能量無(wú)關(guān)的量子數(shù)。原子中電子繞核運(yùn)動(dòng)的軌道角動(dòng)量，在外磁場(chǎng)方向上的分量是量子化的，并由量子數(shù)m決定，m稱為磁量子數(shù)。對(duì)于任意選定的外磁場(chǎng)方向Z，角動(dòng)量L在此方向上的分量Lz只能取一系列分立值，這種現(xiàn)象稱為空間量子化。。磁量子數(shù)決定了原子軌道空間伸展方向，即原子軌道在空間的取向，s軌道一個(gè)方向（球），p軌道3個(gè)方向，d軌道5個(gè)，f軌道7個(gè)……。l相同，m不同即形狀相同空間取向不同的原子軌道能量是相同的。不同原子軌道具有相同能量的現(xiàn)象稱為能量簡(jiǎn)并。

能量相同的原子軌道稱為簡(jiǎn)并軌道，其數(shù)目稱為簡(jiǎn)并度。如p軌道有3個(gè)簡(jiǎn)并軌道，簡(jiǎn)并度為3。簡(jiǎn)并軌道在外磁場(chǎng)作用下會(huì)產(chǎn)生能量差異，這就是線狀譜在磁場(chǎng)下分裂的原因。

粒子的自旋也產(chǎn)生角動(dòng)量，其大小取決于自旋磁量子數(shù)（ms）。電子自旋角動(dòng)量是量子化的其值為，s為自旋量子數(shù)，自旋角動(dòng)量的一個(gè)分量Lsz應(yīng)取下列分立值：。

原子光譜，在高分辨光譜儀下，每一條光線都是由兩條非常接近的光譜線組成，為解釋這一現(xiàn)象提出了粒子的自旋。電子的自旋表示電子的兩種不同狀態(tài)，這兩種狀態(tài)有不同的自旋角動(dòng)量。

電子的自旋不是機(jī)械的自身旋轉(zhuǎn)，它是本身的內(nèi)稟屬性，也是新的自由度，如質(zhì)量和電荷一樣是它的內(nèi)在屬性，電子的自旋角動(dòng)量：?/2。

對(duì)應(yīng)關(guān)系

希爾伯特空間與薛定諤方程

一般，物理上將物理狀態(tài)與希爾伯特空間上的向量（vector），物理量與希爾伯特空間上的算符相對(duì)應(yīng)。這種形式下的薛定諤方程為

H為哈密頓算符。這個(gè)方程在這個(gè)形式下充分顯示出了時(shí)間與空間的對(duì)應(yīng)性（時(shí)間與能量相對(duì)應(yīng)，正如空間與動(dòng)量相對(duì)應(yīng)，后述）。這種算符（物理量）不隨時(shí)間變化而狀態(tài)隨時(shí)間變化的對(duì)自然現(xiàn)象的描述方法被稱為薛定諤繪景，與之對(duì)應(yīng)的是海森伯繪景。

空間坐標(biāo)算符x與其對(duì)應(yīng)的動(dòng)量算符p滿足以下交換關(guān)系：

所謂的薛定諤表示就是將空間算符直接作為x，而動(dòng)量算符為下面的包含微分的微分算符：